16 октября 2006 г. Александр Смирнов. Теорема Римана—Роха для когомологических операций.

Теорема Римана-Роха-Хирцебруха считает эйлерову характеристику векторного расслоения с помощью классов Чженя. Поскольку эйлерова характеристика представляет собой прямой образ в K-теории при отображении многообразия в точку, то более общая задача состоит в вычислении прямого образа при отображении многообразий. Эту задачу решает теорема Римана-Роха-Гротендика, описывающая связь прямого образа в K-теории с прямым образом в когомологиях. При этом K-теория связана с когомологиями характером Чженя и речь идет взаимодействии прямого образа с этой операцией. В топологии известна и более общая теорема Римана-Роха (Дайер), в которой характер Чженя заменен мультипликативной операцией между произвольными экстраординарными теориями когомологий. Для многообразий, ориентированных относительно обеих теорий, имеются прямые образы, а теорема Дайера описывает их взаимодействие с операцией. Ответ дан в терминах классов Тодда, определенных ориентациями стабильных нормальных расслоений многообразий.

Однако теорема Гротендика идет дальше теоремы Дайера в том смысле, что с помощью ряда z/(1-exp(-z)) дает явную формулу для классов Тодда. В докладе будет представлена аналогичная явная формула для операции между ориентированными теориями когомологий. Эта формула работает как в топологии, так и в алгебраической геометрии (для экстраординарных мотивных теорий). Кроме того, будет проведена параллель между теоремой Римана-Роха и формулой замены переменной в интеграле.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.