\pagewidth{108mm} \pageheight{185mm} % 113 x 185 with 20.5pt headline %AS % redefinitions: \let\le\leqslant \let\ge\geqslant \def\varinjlim{\mathop{\vtop{\ialign{##\crcr \hfil\lat\rm lim\hfil\crcr\noalign{\nointerlineskip}\rightarrowfill\crcr \noalign{\nointerlineskip\kern-\ex@}\crcr}}}} \def\varprojlim{\mathop{\vtop{\ialign{##\crcr \hfil\lat\rm lim\hfil\crcr\noalign{\nointerlineskip}\leftarrowfill\crcr \noalign{\nointerlineskip\kern-\ex@}\crcr}}}} \def\varliminf{\mathop{\underline{\vrule height\z@ depth.2exwidth\z@ \hbox{\lat\rm lim}}}} \def\varlimsup{\mathop{\overline{\hbox{\lat\rm lim}}}} \def \Bbbone{\roman{1\mathchoice{\kern-0.25em}{\kern-0.25em} {\kern-0.2em}{\kern-0.2em}I}} \def\RM#1{\leavevmode\skip@\lastskip\unskip\/% \ifdim\skip@=\z@\else\hskip\skip@\fi{\rm#1}} \LimitsOnInts \TagsOnRight \tolerance=1700 \hfuzz=1.5pt \frenchspacing \let\mz=\cprime \LimitsOnInts \TagsOnRight \tolerance=1700 \hfuzz=1.5pt \frenchspacing \let\mz=\cprime % *********************************************************************** %\input amstex %\documentstyle{amsppt} %\input nologo.sty %\parindent = 0pt \topmatter \title %\nofrills Об одной конструкции \\ символической реализации гиперболических автоморфизмов тора \endtitle \rightheadtext{Об одной конструкции } \af С.-Петербургский государственный \newline университет %Математико-механический факультет, \\ %С.-Петербург, 198904, Россия \endaf \da Поступило 15 марта 1995 г. \endda \author Э.~А.~Гирш\,${}^\maltese$ \endauthor \thanks ${}^\maltese$ Работа выполнена при поддержке гранта \,94\;-\;01\;-\;00921 \,Российского фонда фундаментальных исследований \endthanks \endtopmatter \document %\Russian В [1] А.~М.~Вершик предложил общий подход к построению арифметического изоморфизма гиперболических автоморфизмов тора и символических сдвигов по схеме, начальным этапом которой служило следующее предположение. Пусть $T$ -- автоморфизм тора, так же обозначим соответствующее преобразование ${\Bbb Z}^n$. Пусть вектор $v \in {\Bbb Z}^n$ такой, что его орбита относительно автоморфизма $T$ в ${\Bbb Z}^n$ бесконечна. Обозначим через $G$ полугруппу, натянутую на орбиту элемента $v$ относительно $T$. \proclaim{Предположение} Существует натуральное $N$, такое что любой элемент $g$ полугруппы $G$ представим в виде $$g=\sum_{k \in {\Bbb Z}}\,e_k(g)\,T^kv\,,$$ где $e_k(g)$ -- финитная последовательность чисел $0,1,\ldots,N$. \endproclaim Доказательство этого предположения имеется в случае, когда характеристический полином $T$ имеет вид $x^n-a_{n-1}x^{n-1}-\ldots -a_1x_1-1$, где $a_{n-1}\ge\ldots \ge a_2\ge a_1\ge 0$ (см. [2]). Похожий подход был реализован в [3] для автоморфизма, старший корень характеристического полинома которого есть число Пизо, однако вместо обсуждаемого предположения было использовано утверждение, слегка отличающееся от него. А.~М.~Вершиком была выдвинута гипотеза, что этот результат распостраняется на более широкий класс автоморфизмов.\!\!\footnote" * "{Как сообщил автору А.~М.~Вершик, {\lat R.Kenyon} и он доказали, что Предположение будет верно, если заменить условие $e_k(g)\in\{0,1,\ldots,N\}$ на условие $e_k(g)\in S$, где $S$ -- некоторое конечное подмножество поля Галуа характеристического полинома автоморфизма $T$.} В настоящей заметке доказывается, что его невозможно распостранить на автоморфизмы, характеристические полиномы которых имеют неположительные коэффициенты и по крайней мере два различных по модулю корня, лежащих вне единичной окружности. Таким образом, в случае неположительных коэффициентов остаются нерассмотренными две возможности: \roster \item"(1)" если имеются корни на единичной окружности; \item"(2)" если все корни вне единичной окружности равны по модулю. \endroster Итак, рассмотрим многочлен $p\,(z)=z^n-a_{n-1}z^{n-1}-\ldots -a_1z_1-1$, где $a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots ,a_1\ge 0,\;\; \sum a_i^2\,>\,0$. Пусть $S$ -- множество всех двусторонних финитных последовательностей $(\ldots ,b_{-2},b_{-1},b_0,b_1,b_2,\ldots )$ неотрицательных целых чисел. Элементы $S$ будут рассматриваться как формальные суммы вида $$ \sum_{i=s_1}^{s_2}\,b_i\,z^i\;\;\; (s_2\ge s_1).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; $$ Пусть $v\in S$. Наибольший из его коэффициентов будем обозначать {\bf $rk\,v$}. Пусть $v,w\in S$. Будем писать {\bf $v\backsim_p w$}, если $\exists \,t\in {\Bbb Z}: p \;|\; (v-w)\,z^t$. %\medpagebreak Назовем $p$ {\bf разлагающим}, если $$ \exists C \in {\Bbb N} \;\,\forall v \in S \;\,\forall w \in S\;\; (v\backsim_p w \and rk\,w\le C). $$ Заметим, что $p$ имеет ровно один положительный корень $r>1$. \proclaim{Теорема} Если у многочлена $p$, удовлетворяющего вышеприведенным условиям, существует (комплексный) корень $q$, лежащий вне единичного круга и отличный по модулю от $r$, то $p$ -- не разлагающий. \endproclaim \demo{Доказательство} Пусть это не так, то есть $p$ -- разлагающий. Тогда $$ \exists C \in {\Bbb N} \;\,\forall v \in S \;\,\forall w \in S\;\; (v\backsim_p w \and rk\,w\le C). $$ Возьмем $v=A$ (константа). $w \backsim_p A$, следовательно, $w\,(r)=w\,(q)=A$. Пусть $$ w=\sum_{i=s_1}^{s_2}\,b_iz^i, \;\; b_{s_2}>0. $$ Тогда $A=w\,(r)\,\ge\,r^{s_2}$, то есть $s_2 \le \log_rA$. \smallskip С другой стороны, $$ |A|=|w\,(q)|< C\,\frac{|q|^{s_2+1}}{|q|-1}, $$ то есть $$ s_2> \log_{|q|}A + \log_{|q|}\frac{|q|-1}{C}-1. $$ Величина $\log_{|q|}\frac{|q|-1}{C}-1$ -- это константа, не зависящая от $A$; обозначим ее $D$. \medskip Итак, $$ \log_rA\ge s_2>\log_{|q|}A+D. \tag{$*$} $$ Однако заметим, что $r>|q|$, так как в противном случае, т.е. если $r<|q|$, имеем $$ \gather 0=\frac{p\,(q)}{(q)^n} =1-\sum_{i=1}^{n-1}\,a_i\,q^{-i}-q^{-n}\ge\\ \ge 1-\sum_{i=1}^{n-1}\,a_i\,|q|^{-i}-|q|^{-n}=\frac{p\,(|q|)}{|q|^n}> \frac{p\,(r)}{|q|^n}=0 \endgather $$ (противоречие). Поэтому при достаточно больших $A$ неравенство ($*$) не выполнено, что противоречит первоначальному предположению о том, что $p$ -- разлагающий. %$\qed$ \enddemo \Refs \ref \no1 \by А.~М.~Вершик, \paper Арифметический изоморфизм гиперболических автоморфизмов тора и софических сдвигов \jour Функциональный анализ и его приложения \yr 1992 \vol 26, Вып.~3 \pages 22--27 \endref \latref \no2 \by Ch.~Frougny and B.~Solomyak, \paper Finite beta-expansions \paperinfo Ergodic Theory Dynamical Systems, {\bf 12} (1992), 713--723 \endref \latref \no3 \by A.~Bertrand-Mathis, \paper Developpement en base $\theta$; repartition modulo un de la suite $(x\theta^n)_{n\ge 0}$; langages codes et $\theta$-shift \jour Bull. Soc. math. France \vol 114 \yr 1986 \pages 271--323 \endref \endRefs {\lat } \enddocument