\documentclass[12pt,fleqn,a4paper]{book}
% 
% Packages used:
%
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian,english]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
%
% Common customization:
%
\input defs
%
% The document
%
\begin{document}
\selectlanguage{russian}
%
% Lecture title
%
\lecture{9}{Теорема Тод\'а (вторая часть)}{Д. Ицыксон}

Итак, нам осталось доказать, что $\BPP^{\OP} \subseteq \P^{\PP}$.
Очевидно, что $\BPP^{\OP} \subseteq \PP^{\OP}$. Значит, нам достаточно показать
включение $\PP^{\OP} \subseteq \P^{\PP}$.

Пусть $M$ --- НМТ. Обозначим через $acc_M(x)$ количество принимающих путей
машины $M$ на входе $x$ (иначе говоря, количество подсказок, приводящих
$M$ на $x$ в принимающее состояние).

\begin{definition}
$\#\P=\{f:\Sigma^{*}\to \mathbb{N}\cup\{0\} \;|\;  
\exists $ полиномиальная
по времени НМТ $M_f$, такая, что
$\forall x\ f(x) = acc_{M_f}(x)\}$.
\end{definition}

Таким образом, $\#\P$ --- это обобщение $\NP$. В частности, в $\#\P$ имеется
задача $\#\SAT$, в которой по булевой формуле требуется определить 
\emph{количество} выполняющих ее наборов.

\begin{proposition}%\footnote{Очевидное для всех, кто знает теорию сложности.}
$\P^{\#\P}=\P^{\PP}$.
\end{proposition}

\begin{proof}
1. $\P^{\PP} \subseteq \P^{\#\P}$.
Не умаляя общности, можно считать, что все ветви дерева вычислений НМТ -
одинаковой длины. 
С помощью оракула мы можем узнать, сколько принимающих вычислений у той или
иной машины Тьюринга, нас интересует больше ли это половины всех. Посчитаем это
на самой машине.

2. $\P^{\#\P} \subseteq \P^{\PP}$.
Пусть наш оракул из $\#\P$ задан НМТ $M$.
Определим язык 
$L=\{(x \in \Sigma^{*}, y \in \mathbb{N}) : acc_M(x)>y\}$.
%где $acc_M(x)$ -- это множество принимающих вычислений некой НМТ M.
Если мы покажем, что $L \in \PP$, тогда двоичным поиском за полиномиальное
время можно будет найти точное значение $acc_M(x)$:
всего вычислений $2^{\poly(n)}$, а двоичный
поиск работает за $\log$, то есть за $\poly(n)$.

Построим НМТ $M'$, показывающую, что $L\in\PP$.
Первый ее шаг: недетерминированный выбор, в одной ветви запускается машина $M$,
в другой происходят фиктивные вычисления, % (топологический двойник машины M),
которых столько же, сколько у машины $M$,
но из них в отвергающее состояние попадает
ровно $y$ веток. Этого легко добиться, смотря только на двоичную запись
подсказки (меньше она числа $y$ или больше).

Сколько принимающих путей у $M'$? Их $acc_M(x)+(all_M-y)$, где $all_M$ -- это полное
количество путей машины $M$. Для нахождения вероятности принятия это число
нужно поделить на $2\cdot all$.
Получим $P\{\textrm{принятия $(x,y)$}\}=
\frac {1} {2} + \frac {acc_M(x)-y} {2\cdot all}$,
что больше $\frac {1} {2}$ тогда и только тогда, когда $acc_M(x)>y$.  
\end{proof}
    
\begin{lemma}\label{lem:si}
Семейство функций $s_i$ задано следующим рекуррентным соотношением:
$s_i(z)=3(s_{i-1}(z))^4+4(s_{i-1}(z))^3$, $s_0(z)=z$. Тогда
$\forall i \geq 0\ \forall z \in \mathbb{N}$ верно следующее: если
$2|z$, то $2^{2^i}|s_i(z)$, иначе $2^{2^i}|(s_i(z)+1)$.
\end{lemma}
\begin{exercise} 
Доказать лемму~\ref{lem:si} по индукции.\qed
\end{exercise}

\begin{theorem}
$\PP^{\OP} \subseteq \P^{\#\P}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Пусть $L \in \PP^{\OP}$. Тогда
\[
L=\{x\,|\,\exists A \in \P^{\OP}=\OP : |\{y \in \{0,1\}^{p(|x|)}|
(x,y) \in A\}| > \frac {1}{2}2^{p(|x|)}  \},
\] 
%Здесь $y$ --- это подсказка,
где $p$ --- полином.
В дальнейшем $l(x):=\lceil\log p(|x|)+1\rceil$.

Покажем, что $L \in \P^{\#\P}$, для этого опишем машину $M$
(это будет большой <<монстр>>)
следующим образом.

1. Вычисляем коэффициенты $q(z)=(s_{l(x)}(z))^2$ рекурсивно. 
Очевидно, что мы вычислим их за полиномиальное время;
значит, количество ненулевых коэффициентов будет также полиномиально.
На каждом шаге рекурсии степень возрастает не больше, чем в $4$ раза. 
Т.е. степень этого полинома не более
$16^{l(x)}$, что меньше, чем $p^4(|x|)$.

2. Производим недетерминированный выбор, так чтобы веток было столько же, сколько
ненулевых коэффициентов многочлена $q(z)$. В каждой из этих веток производится
расщепление еще на несколько веток, именно, на количество, равное
соответствующему коэффициенту $q(z)$, а затем в каждой такой
веточке последовательно запускается НМТ $\mathcal{A}$, соответствующая языку $A$,
столько раз, какова степень при соответствующем коэффициенте.
Причем запускаем следующую машину,
только если предыдущая закончила работу в принимающем состоянии.

У машины $M$ ровно $(s_{l(x)}(z))^2$ принимающих вычислений, где $z$ --- это
количество принимающих вычислений машины $A$ на входе $(x,y)$. Если $(x,y) \in A$, то
у машины $\mathcal{A}$ было нечетное число принимающих вычислений, 
тогда по лемме~\ref{lem:si} у $M$ их будет 1 по модулю $2^{2^{l(x)}}$. 
Если не принадлежит, то 0 по тому же модулю.

Мы не можем спрашивать оракула о количестве принимающих путей машины $M$
для каждой подсказки $y$ (поскольку подсказок экспоненциально много),
поэтому мы объединим деревья вычислений этих машин для разных $y$ в одно. 
Итак, мы опишем машину $N$, количество принимающих путей
которой мы будем спрашивать у оракула, чтобы выяснить, 
верно ли, что $x\in L$. %\in\P^{\#\P}$.
Нам хотелось оценить
количество $y \in \{0,1\}^{p(|x|)}$, для которых $(x,y) \in A$; 
вернее, знать, больше ли их, чем $\frac {1}{2}2^{p(|x|)}$.
Наша машина $N$ недетерминированно угадывает подсказку $y$,
затем запускает $M(x,y)$. Так как число подсказок $y$ равно
$2^{p(|x|)} < 2^{2^{l(x)}}\le 2^{p(|x|)+1}$, то число нужных подсказок $y$ ---
это как раз количество принимающих путей машины $N$
по модулю $2^{2^{l(x)}}$.
Осталось это число сравнить с $\frac {1}{2}2^{p(|x|)}$.
\end{proof}

Итак, теорема Тод\'а доказана: мы доказали
$$\PH \subseteq \BPP^{\OP} \subseteq \PP^{\OP} \subseteq \P^{\#\P}=\P^{\PP}.$$

\begin{exercise}
Доказать, что $\PP^{\PH} \subseteq \P^{\PP}$.
Указание: для этого достаточно обобщить лемму
про
$\BPP^{\BPP^A}\subseteq\BPP^A$
до
$\PP^{\BPP^A}\subseteq\PP^A$.
\qed
\end{exercise}
\end{document}