11 декабря 2003 г. В. А. Малышев (Рыбинск). Интегралы с квадратическими иррациональностями.

В 1860 году Чебышевым была поставлена следующая задача относительно интегралов вида \int\frac{\rho}{\sqrt{R}} dt, где R — полином степени 2m без кратных корней, а \rho — полином степени m-1. Как по коэффициентам полинома R при помощи конечного числа алгебраических действией узнать, возможно или нет выбрать полином \rho так, чтобы интеграл вычислялся в конечном виде? Для полиномов R степени 4 при помощи оценки длины периода непрерывной дроби корня \sqrt{R} Чебышев решил задачу для рациональных коэффициентов, а Золотарев решил задачу для алгебраических коэффициентов. В докладе будет дано решение для "почти всех" полиномов R степени 2m с рациональными коэффициентами. Остался открытым вопрос относительно полиномов R с группами Галуа "малых" порядков \le 4(2m-2)!. Для полиномов R степени 4 с рациональными коэффициентами будет дано полное решение задачи. Получена точная оценка \le 22 длины периода непрерывной дроби корня \sqrt{R} и перечислены десять серий интегралов, допускающих вычисление в конечном виде. Первая серия построена Эйлером. Следующие четыре серии построены Абелем. Построение всех десяти серий сводится к построению рациональных параметризаций алгебраических кривых рода 0. Число десять следует из теоремы Мазура о группах кручения эллиптических кривых.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.