19 января 2004 г. Владимир Фок. Кластерные алгебры.

Будет описана элементарная конструкция построения, исходя из произвольной целочисленной кососимметрической матрицы, следующего набора объектов:

1. Пуассонова многообразия ${\cal X}$.

2. Симплектического многообразия ${\cal A}$.

3. Группы автоморфизмов этих многообразий.

4. Тропические аналоги ${\cal X}^t$ и ${\cal A}^t$ пространств ${\cal X}$ и ${\cal A}$.

5. Квантовые версии пространств ${\cal X}$ и ${\cal A}$.

Эта конструкция интересна тем, что для частных случаев дает явное координатное описание хорошо известных многообразий, таких, как пространства конфигураций флагов, пространства дискретных подгрупп вещественных расщепимых полупростых групп Ли и некоторых других пространств. Кроме того, предполагается (а во многих частных случаях доказывается), что кольцо регулярных функций на ${\cal X}$ (соответственно ${\cal A}$) имеет базис, занумерованный целочисленными точками пространства ${\cal A}^t$ (соответственно ${\cal X}$), причем структурные константы в этом базисе являются положительными целыми числами. Аналогичное утверждение справедливо также в квантовом случае, однако структурные константы становятся положительными целыми $q$-числами.

Предлагаемая конструкция имеет непосредственные приложения к теории пространств Тейхмюллера, конформным теориям поля, теории представлений, кристальным базисам Кашивары-Люстига, крейновой положительности, интегрируемым системам (гипотетически) и многим другим сюжетам.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.