28 апреля 2008 г. С. В. Конягин (МИАН). О жадных аппроксимациях тригонометрических рядов Фурье.

где δ_i,j — символ Кронекера. Допустим, что sup_n < ∞. Тогда для любого x ∈ X справедливо равенство

(1.2)                                                                          

Для любого элемента x ∈ X можно написать формальное разложение по системе {e_n}

(1.3)                                                                         

Расположим ненулевые коэффициенты разложения в порядке невозрастания абсолютных величин

При этом порядок коэффициентов с равными абсолютными величинами произвольный. Жадными аппроксимантами порядка n назовем

Интерес к жадным аппроксимантам увеличился в связи с их эффективностью при разложении по системе всплесков (wavelets).

В докладе в основном будет рассматриваться разложение по тригонометрической системе. Легко видеть, что если p = 2 и  f ∈ L_p[-π,π), то переставленный тригонометрический ряд Фурье функции  f сходится в L_p к этой функции при любом порядке членов ряда Фурье. В частности, жадные аппроксиманты сходятся к  f при p = 2. Если p ≠ 2, то это уже не так. Будет обсуждаться вопрос, какие дополнительные условия нужно наложить на функцию  f ∈ L_p[-π,π), чтобы обеспечить сходимость жадных аппроксимантов в L_p.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.