26 января 2009 г. И. Д. Шкредов (Москва). Комбинаторная теория чисел.

В докладе мы расскажем о новой бурно развивающейся области современной математики --- комбинаторной теории чисел или аддитивной комбинаторике. Эту науку можно определить, грубо говоря, как изучающую комбинаторные вопросы, связанные с групповой структурой.

Истоки данной области, возводят, чаще всего, к классической теореме А. Л. Коши о сложении множеств в группе Z/pZ (мощность суммы множеств A и B либо равна p, либо не меньше, чем |A|+|B|-1), также к теореме И. Шура о уравнении xⁿ+yⁿ≡zⁿ (mod p) и, конечно, к теореме Б. Л. Ван дер Вардена о монохроматических арифметических прогрессиях. Что касается приложений, то первое из них было получено Л. Шнирельманом в 1930 году, который доказал, что всякое натуральное число, начиная с двойки, является суммой ограниченного числа простых.

Теорема Ван дер Вардена, названная А. Я. Хинчиным "жемчужиной теории чисел" имела, безусловно, наибольшее влияние на всю рассматриваемую область. Непосредственно с последней связаны теорема Е. Семереди (1969) о арифметических прогрессиях, а также создание Х. Фюрстенбергом, так называемой "комбинаторной эргодической теории" (1971). В последнее время в аддитивной комбинаторике наблюдается значительный всплеск активности, связанный, прежде всего, с появлением количественных результатов об арифметических прогрессиях Т. Гауэрса (2001), оценок для сумм произведений Бургена-Каца-Тао (2003) и, конечно, потрясающего результата Грина-Тао (2004) о существовании в множестве простых чисел прогрессий произвольной длины.

Мы планируем рассказать о имеющихся в данной науке результатах, а также о ее связях с эргодической теорией и комбинаторикой.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.