24 октября 2011 г. С. В. Дужин. Пересыпание песка.

Рассмотрим направленный граф и неотрицательную целочисленную функцию на его вершинах (по графу "рассыпаны песчинки"). Если в какой-то вершине число песчинок больше или равно ее исходящей степени, то песчинки по одной пересыпаются в соседние вершины в соответствии с ориентацией графа. Этот процесс однозначно стабилизируется в двух случаях: (1) если граф связный и бесконечный, а число песчинок конечно и (2) если граф связный, конечный, и в нем отмечена одна вершина ("сток"), попадая в которую весь песок исчезает. Во втором случае стабильные конфигурации песка образуют коммутативный моноид по сложению с последующей стабилизацией, и минимальный идеал этого моноида, согласно известной абстрактной теореме, является группой. Это и есть то, что называется "песочная группа графа". Этот термин ("sandpile groups") появился только 20 лет назад, но понятие оказалось связанным со многими классическими и не очень классическими объектами математики, такими как лапласиан графа, полином Татта, перечисление остовных деревьев, якобианы алгебраических кривых, автоморфизмы ожерелий. В докладе будет сделана попытка дать популярное введение в эту интересную и бурно развивающуюся область математики.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.