19 ноября 2012 г. Е. С. Дубцов. Суммы модулей голоморфных функций.

Общая формулировка основного рассматриваемого вопроса такова: Как выглядят суммы |f| + |g| для голоморфных в единичном круге функций f и g?

Для формализации вопроса предположим, что w — весовая функция, т.е. w — положительная неубывающая непрерывная неограниченная функция на интервале [0, 1). Соответствующий радиальный вес определяется равенством w(z) = w(|z|) для z из единичного круга. Рассмотрим следующую аппроксимационную задачу:

Для заданного радиального веса w построить такие голоморфные в круге функции f и g, что сумма |f| + |g| эквивалентна весу w, т.е.

Основной результат доклада даёт явное описание тех радиальных весов, для которых задача имеет решение. Также получен ответ в том случае, когда две функции заменены на конечный набор голоморфных функций. Сходные результаты имеют место в случае нескольких комплексных переменных для круговых строго выпуклых областей с гладкой границей.

О доказательствах.

1. Ограничения на допустимые весовые функции w следуют из классической теоремы Адамара. Также используются базовые свойства логарифмически выпуклых функций.

2. Конструктивная часть: искомые голоморфные функции строятся в виде подходящих лакунарных рядов. А именно, с каждой допустимой весовой функцией w ассоциируется вспомогательная выпуклая функция v. Геометрическое рассуждение, основанное на выпуклости функции v, позволяет по индукции явно построить частоты и коэффициенты требуемых лакунарных рядов.

Приложения.

Построенные тестовые функции оказываются полезными при изучении мер Карлесона, весовых операторов композиции, обобщенных операторов Чезаро и иных явных линейных операторов.

Доклад основан на совместных работах с Е.Абакумовым.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.