14 февраля 2013 г. А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ РАН). Обобщение теоремы Сабитова на случай многогранников произвольной размерности.

Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон. Если же мы возьмём многоугольник с хотя бы 4 сторонами, то его площадь не может быть выражена через длины его сторон, так как он может изгибаться с сохранением длин сторон и с изменением площади.

Ситуация кардинально меняется в размерности 3. В 1996 году И.Х. Сабитов доказал, что объём любого симплициального многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем многочлена со старшим коэффициентом 1, остальные коэффициенты которого суть многочлены от квадратов длин рёбер многогранника. Следовательно, объём симплициального многогранника с данными комбинаторным строением и длинами рёбер может принимать лишь конечное число значений. Эта теорема несомненно имеет самостоятельный интерес, однако изначально она возникла из замечательной области комбинаторной геометрии — теории изгибаемых многогранников. Изгибаемый многогранник — многогранник с жёсткими гранями и шарнирами в рёбрах, который может изгибаться с изменением двугранных углов. Удивительный факт заключается в том, что хотя примеры самопересекающихся изгибаемых многогранников — октаэдры Брикара — были известны ещё с конца 19-го века, очень долго никому не удавалось построить примера несамопересекающегося изгибаемого многогранника. Впервые такой пример был построен Р. Коннелли в 1977 году. Вскоре им же была сформулирована гипотеза, утверждающая что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. Эта гипотеза стала известной под названием гипотезы о кузнечных мехах. Из теоремы Сабитова следует, что гипотеза о кузнечных мехах верна в размерности 3.

В течение долгого времени оставался открытым вопрос о том, верен ли аналог теоремы Сабитова в старших размерностях. В 2011 году докладчиком был доказан аналог теоремы Сабитова в размерности 4, однако попытка обобщить это доказательство на случай произвольной размерности упиралась в серьёзные алгеброгеометрические трудности.

В 2012 году докладчику удалось получить доказательство прямого аналога теоремы Сабитова для многогранников произвольной размерности n>2 на основе новых идей. Доказательство стало возможным благодаря взаимодействию двух основных инструментов: теории нормирований полей, использование которой в такого рода задачах уже стало традиционным, и теории сдавливания симплициальных комплексов, использование которой является принципиально новым.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.