17 февраля 2022 г. А. К. Ставрова (ПОМИ). Отношение R-эквивалентности Манина на точках многообразий и групп.

Назовем точки x и y алгебраического многообразия X R-эквивалентными, если существует набор точек x=x₁,x₂,...,x_n=y на X, таких что каждые две последовательные точки лежат в образе некоторого отображения f:U→X, где U — открытое подмножество аффинной прямой. Это отношение было впервые определено Юрием Маниным в его книге "Кубические формы". Оказалось, что соответствующее множество классов R-эквивалентности X(k)/R точек X является замечательным инвариантом многообразий и позволяет решать самые разные задачи. Например, пользуясь этим понятием можно доказать, что полная линейная группа GL_n(H) обратимых матриц с коэффициентами в кватернионах порождается (аналогично обычной полной линейной группе) вещественными скалярами и матрицами преобразований I рода.

Одна из известных задач об R-эквивалентности — проблема специализации: как связаны множества классов R-эквивалентности для многообразий, параметризованных гладкой кривой, в общей точке этой кривой и в специальной точке? Оказывается, что если считать кривую бесконечно малой, то между соответствующими множествами есть каноническая биекция. Янош Коллар (2004) доказал это для гладких проективных многообразий, а Филипп Жиль совместно с докладчицей — для простых алгебраических групп.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.