28 апреля 2022 г. А. Д. Медных (Институт математики им. С. Л. Соболева; НГУ). Объемы узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны.

В докладе изучаются гиперболические, сферические или евклидовы структуры на коническом многообразии, носителем которого служит трехмерная сфера, а сингулярным множеством — заданный узел или зацепление.

Мы приводим тригонометрические тождества, связывающие длины сингулярных геодезических с коническими углами таких многообразий. Обнаружились довольно любопытные вещи: для таких длин и углов справедливы аналоги школьных теорем синусов и косинусов. Это позволило найти совершенно новый подход к решению дифференциальных уравнений Шлефли, связывающего объем многообразия с длинами сингулярных геодезических и коническими узлами. В результате удается вычислить объемы узлов в гиперболической, сферической и в, наиболее трудной, евклидовой геометриях.

В евклидовом случае необходимо в качестве единицы длины взять длину самого узла. Тогда удается доказать, что вычисленный таким образом евклидов объем, является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Этот результат можно рассматривать как далеко идущее обобщение теоремы Сабитова-Гайфуллина об объемах евклидовых многогранников.

Предыдущие заседания семинара: список докладов.