Laboratory of Mathematical Logic at PDMI

Четверг, 11 марта, комната 311. Начало в 14:00.

Докладчик: Я.Д. Сергеев (Нижегородский Университет им. Н.И. Лобачевского, Distinguished Full Professor, University of Calabria, Cosenza, Italy).

Тема: Численные вычисления с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами: Описание подхода, приложения и демонстрация работы компьютера.

Abstract

В докладе рассматривается новый подход (см. обзор [2]) к численным вычислениям, позволяющий построить простую и наглядную арифметику для работы не только с конечными числами, но и с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Построенная арифметика естественно распространяет наблюдаемое в окружающем нас мире свойство «часть всегда меньше целого», сформулированное древнегреческими философами и используемое при работе с конечными числами, на бесконечно большие и бесконечно малые величины. Предлагаемая методология позволяет вычислить у определённых бесконечных множеств число их элементов. При этом новый подход не противоречит взглядам Кантора и Робинсона (нестандартный анализ), а дополняет их.

В докладе показывается, что многие вычислительные трудности, возникающие при работе с бесконечностью (например, некоторые парадоксы, неопределённые формы при нахождении пределов, и т.д.) не обусловлены природой бесконечности, а являются следствием слабости традиционных систем записи чисел. Предлагается новая позиционная система с бесконечной базой, позволяющая записывать бесконечно большие и бесконечно малые величины в явной форме конечным числом символов.

Предлагаемый подход позволяет дать детальные ответы на серию классических вопросов и парадоксов, имеющих дело с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. В частности, с новых позиций рассматривается Первая Проблема Гильберта. Обсуждаются границы применимости нового подхода. Рассматриваются примеры и приложения.

Новый подход позволяет построить компьютер (получен Европейский патент [3]), выполняющий численные (не символьные) вычисления с конечными, бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Во время доклада демонстрируется калькулятор для персональных компьютеров, который выполняет численные вычисления с бесконечно большими, конечными и бесконечно малыми величинами.

Избранная литература

1. Sergeyev Ya.D. http://www.theinfinitycomputer.com
2. Sergeyev Ya.D. (2008) A new applied approach for executing computations with infinite and infinitesimal quantities, Informatica, 19(4), 567-596.
3. Sergeyev Ya.D. Computer system for storing infinite, infinitesimal, and finite quantities and executing arithmetical operations with them, EU patent 1728149, 2009.
4. Sergeyev Ya.D. (2010) Counting systems and the First Hilbert problem, Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods & Applications, 72(3-4), 1701-1708.
5. Sergeyev Ya.D. (2009) Numerical point of view on Calculus for functions assuming finite, infinite, and infinitesimal values over finite, infinite, and infinitesimal domains, Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods & Applications, 71(12), e1688-e1707.
6. Sergeyev Ya.D. (2009) Evaluating the exact infinitesimal values of area of Sierpinski's carpet and volume of Menger's sponge, Chaos, Solitons & Fractals, 42, 3042–3046.
7. Sergeyev Ya.D. (2009) Numerical computations and mathematical modelling with infinite and infinitesimal numbers, Journal of Applied Mathematics and Computing, 29, 177-195.
8. Sergeyev Ya.D. (2007) Blinking fractals and their quantitative analysis using infinite and infinitesimal numbers, Chaos, Solitons & Fractals, 33(1), 50-75.
9. Sergeyev, Ya.D. (2006) Mathematical foundations of the infinity computer, Annales UMCS Informatica AI, 4, 20-33.
10. Sergeyev Ya.D. Arithmetic of infinity, Edizioni Orizzonti Meridionali, CS, 2003.