Laboratory of Mathematical Logic at PDMI

Cреда, 6 марта, ПОМИ РАН, ауд. 106. Начало в 15:00.

Докладчик: Ф.Н. Пахомов (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН).

Тема: О границах применимости второй теоремы Гёделя о неполноте.

Abstract

Теоремы Гёделя о неполноте являются одним из наиболее известных результатов математической логики. Настоящий доклад будет посвящен второй теореме о неполноте — утверждению о том, что ни одна достаточно сильная непротиворечивая формальная система не может доказать формализацию утверждения о собственной непротиворечивости. Для того чтобы неформальное утверждение из предыдущего предложения стало строгим математическим результатом, ряд его частей должен быть уточнен: какие формальные системы рассматриваются, какие из них считаются достаточно сильными, какие формулы рассматриваются как формализации утверждения о непротиворечивости. Я дам обзор некоторых математических результатов являющихся такого рода уточнениями. Будет рассказано как и о классическом результате Курта Гёделя, так и о нескольких современных сильных формах второй теоремы о неполноте.

Также в настоящем докладе я расскажу о своем примере теории, которая доказывает собственную непротиворечивость и тем самым избегает всех известных форм второй теоремы о неполноте. Построена достаточно естественная слабая теория множеств, в которой конечные фон-неймановские ординалы дают погружение арифметического языка, доказывающая естественную арифметизацию утверждения о собственной непротиворечивости.

Приложение