{}\documentclass{beamer} %\documentclass[serif]{beamer} \usepackage{jury1} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphics} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[russian]{babel} \mode \usetheme{Goettingen} \setbeamercovered{highly dynamic} \setbeamerfont{normal text}{size=\normalsize,series=\normalfont,family=\rmfamily} \setbeamerfont{frametitle}{size=\normalsize,series=\bfseries} \def\leq{\leqslant} \def\geq{\geqslant} \theoremstyle{plain} \newtheorem{prop1}{Свойство 1} \newtheorem{prop2}{Свойство 2} \newtheorem{prop3}{Свойство 3} \newtheorem{prop4}{Свойство 4} \newtheorem{prop5}{Свойство 5} \newtheorem{prop6}{Свойство 6} \newtheorem{prop7}{Свойство 7} \newtheorem{prop8}{Свойство 8} \newtheorem{lem}{Лемма} \newtheorem{lem1}{Лемма 1} \newtheorem{lem2}{Лемма 2} \newtheorem{lem3}{Лемма 3} \newtheorem{lem4}{Лемма 4} \newtheorem{lem5}{Лемма 5} \newtheorem{lem6}{Лемма 6} \newtheorem{lem7}{Лемма 7} \newtheorem{lem8}{Лемма 8} \newtheorem{lem9}{Лемма 9} \newtheorem{lem10}{Лемма 10} \newtheorem{lem11}{Лемма 11} \newtheorem{lem12}{Лемма 12} \newtheorem{lem13}{Лемма 13} \newtheorem{lem14}{Лемма 14} \newtheorem{lem15}{Лемма 15} \newtheorem{claim}{Утверждение} \newtheorem{cor}{Следствие} \newtheorem{cor1}{Следствие 1} \newtheorem{cor2}{Следствие 2} \newtheorem{cor3}{Следствие 3} \newtheorem{con}{Гипотеза} %\newtheorem{cor1}{Corollary 2} %\newtheorem{cor2}{Corollary 3} \newtheorem{thm}{Теорема} \newtheorem{thm0}{Теорема 0} \newtheorem{thm1}{Теорема 1} \newtheorem{thm2}{Теорема 2} \newtheorem{thm3}{Теорема 3} \newtheorem{thm4}{Теорема 4} %\newtheorem{Fthm}{Fary's Theorem} %\newtheorem{conjecture}{Conjecture} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defin}{Определение} %\newtheorem{str}{} % \title{Алгебра. Глава 0. Основные понятия.} \author{Д.\,В.\,Карпов} % \date{2023} % \begin{document} \def\q#1.{{\bf #1.}} \def\id{{\rm id}} \def\Im{{\rm Im}} \def\Ker{{\rm Ker}} \def\GM{{\rm GM}} \def\I{{\rm Int}} \def\N{{\mathbb N}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\P{{\mathbb P}} \def\F{{\mathbb F}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\mmax{\mathop{\rm max}} \def\char{{\rm char}} \def\ov{\overline} \def\un{\underline} \def\sd{\mathop{\triangle}} \def\ent{\hfill\textcolor[rgb]{0,0,1}{$\Box$}} \def\prf{ \textcolor[rgb]{0,0,1}{Доказательство. }} \def\sini{\textcolor[rgb]{0,0,1}} \begin{frame} \titlepage \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame} \small \frametitle{Кольцо и поле} $\bullet$ Пусть $K$ --- множество, элементы которого мы будем называть \sini{\em числами}. На множестве $K$ определены две операции \quad $\sini{+}\: : K\times K \to K$ \quad и \quad $\sini{\cdot}\: : K\times K \to K$. %, удовлетворяющие следующим условия: \smallskip $1)$ \sini{Ассоциативность +} \quad $\forall a,b,c\in K \quad (a+b)+c=a+(b+c)$. \smallskip $2)$ \sini{Коммутативность +} \quad $\forall a,b \in K \quad a+b =b+a$. \smallskip $3)$ \sini{Ноль} \quad $\exists \: 0 \in K: \quad a+0 =a$. \smallskip $4)$ \sini{Обратный элемент по +} \: $\forall a\in K \:\:\exists\: (-a) \in K: \: a+(-a) =0$. \smallskip $5)$ \sini{Дистрибутивность} \: $\forall a,b,c \in K \quad (a+b)c=ac+bc \quad \mbox{ и } \quad a (b+c)=ab+ac$. \smallskip $6)$ \sini{Ассоциативность $\cdot$} \quad $\forall a,b,c\in K \quad (ab) c=a (bc)$. \smallskip $7)$ \sini{Коммутативность $\cdot$} \quad $\forall a,b \in K \quad a b =b a$. \smallskip $8)$ \sini{Единица $\cdot$} \quad $\exists\: 1 \in K: \quad a\cdot 1 =1\cdot a = a$. \smallskip $9)$ \sini{Обратный элемент по $\cdot$} \: $\forall a\in K\setminus \{0\} \:\:\exists\: (a)^{-1} \in K: \: a\cdot (a)^{-1}= (a)^{-1} \cdot a =1$. \smallskip $\bullet$ Выполнено $1-6$: $K$ --- \sini{\em кольцо}. $\bullet$ Выполнено $1-7$: $K$ --- \sini{\em коммутативное кольцо}. $\bullet$ Выполнено $1-6$ и 8: $K$ --- \sini{\em кольцо с 1}. $\bullet$ Выполнено $1-6$, 8 и 9 : $K$ --- \sini{\em тело}. $\bullet$ Выполнено $1-9$ : $K$ --- \sini{\em поле}. \end{frame} \begin{frame} % \small \begin{prop1} Ноль в кольце $K$ единственен. \end{prop1} \smallskip \prf Пусть есть два ноля: $0_1$ и $0_2$. Тогда: \smallskip \centerline{ $ 0_1= 0_1 + 0_2 = 0_2 + 0_1 = 0_2 . $} \ent \begin{prop2} Для любого $a\in K$, обратный элемент по $+$ единственен. \end{prop2} \smallskip \prf Пусть есть два обратных элемента по $+$ для $a\in K$: $b_1$ и $b_2$. Тогда: \smallskip \centerline{ $b_1= b_1+0= b_1 + (a+ b_2) = (b_1 + a)+ b_2 = 0+b_2= b_2 . $} \ent \begin{prop3} $\forall a\in K\quad -(-a)=a.$ \end{prop3} \smallskip \prf \quad $a= a + ((-a)+ (-(-a))) = $ \smallskip $= (a+(-a))+ (-(-a)) = (-(-a)). $ \ent \smallskip \end{frame} \begin{frame} \small \begin{prop4} В кольце не более одной единицы. \end{prop4} \smallskip \prf Пусть есть две единицы: $1_1$ и $1_2$. Тогда: \smallskip \centerline{ $ 1_1= 1_1 \cdot 1_2 = 1_2 . $ \qquad \ent} \begin{defin} Пусть $K$ --- кольцо с 1. Элемент $a\in K$ \sini{\em обратимый}, если существует $a^{-1}\in K$. \end{defin} $\bullet$ В поле все ненулевые элементы обратимы. \begin{prop5} Пусть $K$ --- кольцо с 1. Тогда для любого $a\in K$ существует не более чем один обратный элемент по $\cdot$. \end{prop5} \smallskip \prf Пусть есть два обратных элемента по $\cdot$ для $a\in K$: $b_1$ и $b_2$. Тогда: \smallskip \centerline{ $b_1= b_1\cdot 1= b_1 \cdot (a \cdot b_2) = (b_1 \cdot a) \cdot b_2 = 1 \cdot b_2= b_2 . $ \qquad \ent} \begin{prop6} Пусть $K$ --- кольцо с 1. Тогда для любого обратимого $a\in K$ выполнено $ (a^{-1})^{-1}=a.$ \end{prop6} \smallskip \prf \quad $a= a \cdot 1= a \cdot (a^{-1} \cdot (a^{-1})^{-1}) =$ \smallskip $=( a \cdot a^{-1}) \cdot (a^{-1})^{-1} = 1 \cdot (a^{-1})^{-1}= (a^{-1})^{-1}. $ \ent \end{frame} \begin{frame} \begin{prop7} $ -0=0.$ \end{prop7} \smallskip \prf Следует из $0+0=0$. \ent \smallskip \begin{prop8} Если $K$ --- кольцо с 1, то $1^{-1}=1.$ \end{prop8} \smallskip \prf Следует из $1\cdot 1 =1$. \ent \smallskip \begin{defin} $\bullet $ \sini{Вычитание} --- это прибавление обратного элемента по $+$ \:: \smallskip \centerline{ $a-b:= a+ (-b)$.} \smallskip $\bullet $ \sini{Деление} на обратимый элемент $b$ --- это умножение на $b^{-1}$ \:: \medskip \centerline{ ${a\over b} := a \cdot b^{-1}$.} \end{defin} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Подполе и подкольцо} \begin{defin} $\bullet $ Пусть $K\subset L$, причем оба они --- кольца с одними и теми же операциями $+$ и $\cdot$. Тогда $K$ --- \sini{подкольцо} $L$, а $L$ --- \sini{надкольцо} $K$. \smallskip $\bullet $ Пусть $K\subset L$, причем оба они --- поля с одними и теми же операциями $+$ и $\cdot$. Тогда $K$ --- \sini{подполе} $L$, а $L$ --- \sini{надполе} $K$. \end{defin} \end{frame} \begin{frame} \begin{lem1} Пусть $L$ --- кольцо, $K \subset L$. Пусть выполнены следующие условия: $1^\circ$ \sini{Замкнутость по +}\ $\forall\: a,b\in K$ \quad $a+b\in K$. \smallskip $2^\circ$ \sini{Замкнутость по $\cdot$}\ $\forall\: a,b\in K$ \quad $a\cdot b\in K$. \smallskip $3^\circ$ \sini{Существование обратного элемента по +}\ $\forall\: a \in K \quad \exists\: -a\in K$. \smallskip Тогда $K$ --- кольцо, а значит, подкольцо $L$. Если $L$ --- коммутативно, то $K$ тоже. \end{lem1} \smallskip \prf $\bullet$ Условия $1^\circ$ и $2^\circ$ означают, что + и $\cdot$ корректно определены в $K$. \smallskip $\bullet$ Ассоциативность и коммутативность $+$, ассоциативность $\cdot$, коммутативность $\cdot$ (если есть) наследуются из $L$. \smallskip Рассмотрим любой элемент $a\in K$. Тогда $-a\in K$, а значит $a-a=0\in K$. \ent \end{frame} \begin{frame} \begin{lem2} Пусть $L$ --- поле, $K \subset L$. Пусть выполнены следующие условия: $1^\circ$ \sini{Замкнутость по +}\ $\forall\: a,b\in K$ \quad $a+b\in K$. \smallskip $2^\circ$ \sini{Замкнутость по $\cdot$}\ $\forall\: a,b\in K$ \quad $a\cdot b\in K$. \smallskip $3^\circ$ \sini{Существование обратного элемента по +}\ $\forall\: a \in K \quad \exists\: -a\in K$. \smallskip $4^\circ$ \sini{Существование обратного элемента по $\cdot$}\ $\forall\: a \in K,\: a\ne 0, \quad \exists\: (a)^{-1}\in K$. \smallskip Тогда $K$ --- поле, а значит, подполе $L$. \end{lem2} \smallskip \prf $\bullet$ По Лемме 1, $K$ --- коммутативное подкольцо $L$. \smallskip $\bullet$ Остается проверить существование 1 в $K$. \smallskip Рассмотрим любой ненулевой элемент $a\in K$. Тогда $ a^{-1}\in K$, а значит, $a\cdot a^{-1}=1\in K$. \ent \end{frame} \begin{frame} \small \frametitle{Гомоморфизм} \begin{defin} $\bullet$ Пусть $K, L$ --- кольца. Отображение $f: K\to L$ называется \sini{гомоморфизмом}, если $\forall \: a,b\in K$: \smallskip $f(a+b)=f(a)+f(b)$ \quad и \quad $f(a b)=f(a) f(b)$. \medskip \sini{Ядро} гомоморфизма $f$ --- это $\Ker(f)=\{x\in K\::\: f(x)=0\}$. \medskip \sini{Образ} гомоморфизма $f$ --- это $\Im(f)=\{y\in L\::\: \exists x\in K: f(x)=y\}$. \end{defin} \begin{prop1} Если $f:K\to L$ гомоморфизм, то $f(0_K)= 0_L$. \end{prop1} \smallskip \prf $f(0_K)=f(0_K+0_K)= f(0_K) + f(0_K)$. Вычитая из левой и правой частей $f(0_K)$, получаем $f(0_K)=0_L$. \ent \begin{prop2} Если $f:K\to L$ гомоморфизм, то $f(-a)= -f(a)$. \end{prop2} \smallskip \prf $0_L=f(0_K)=f(a+(-a))= f(a) + f(-a)$. Вычитая из левой и правой частей $f(a)$, получаем $-f(a)=f(-a)$. \ent \end{frame} \begin{frame} % \small \begin{lem3} Пусть $K,L$ --- кольца, $f: K\to L$ --- гомоморфизм колец. Тогда: $1)$ $\Ker( f)$ --- подкольцо $K$. $2)$ $\Im( f)$ --- подкольцо $L$. \end{lem3} \smallskip \prf Достаточно проверить условия из Леммы 1. \smallskip \sini{1)} $\bullet$ Пусть $a,b \in \Ker(f)$. Тогда $f(a+b)=f(a)+f(b)=0+0=0$, следовательно, $a+b\in \Ker(f)$. \smallskip $\bullet$ $f(a b)=f(a) f(b)=0 \cdot 0=0$, следовательно, $a b\in \Ker(f)$. \smallskip $\bullet$ $f(-a)= -f(a)=-0_L = 0_L$. \medskip \sini{2)} $\bullet$ Пусть $y ,y' \in \Im(f)$, а $x,x' \in K$ таковы, что $f(x)=y$ и $f(x')=y'$. \smallskip $\bullet$ Тогда $y+y'= f(x ) +f( x')= f(x + x') \in \Im(f)$ \quad и \smallskip $y \cdot y'= f(x) \cdot f( x') \in \Im(f)$. \smallskip $\bullet$ $-y = -f(x)= f(-x) \in \Im(f)$. \ent \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Типы гомоморфизмов} $\bullet$ Пусть $f:K\to L$ --- гомоморфизм колец. \smallskip $\bullet$ Если $f$ --- инъекция, то $f$ --- \sini{мономорфизм}. \smallskip $\bullet$ Если $f$ --- сюръекция (то есть, $\Im(f)=L$), то $f$ ---\sini{эпиморфизм}. \smallskip $\bullet$ Если $f$ --- биекция, то $f$ --- \sini{изоморфизм}. \smallskip $\bullet$ Изоморфизм = мономорфизм + эпиморфизм. \begin{lem4} Пусть $f:K\to L$ --- гомоморфизм колец. Тогда $f$ --- мономорфизм, если и только если $\Ker(f)=\{0\}$. \end{lem4} \smallskip \prf \sini{$\Rightarrow$} $\bullet$ Если $f$ --- мономорфизм, то $f$ --- инъекция. \smallskip $\bullet$ Пусть $a\in \Ker(f)$. Из $f(a)=0=f(0)$ следует, что $a=0$ (так как $f$ --- инъекция). \smallskip \sini{$\Leftarrow$} $\bullet$ Пусть $f(a)=f(b)$. Тогда $f(a-b)=f(a)-f(b)=0$. \smallskip $\bullet$ Значит, $a-b\in \Ker(f)=\{0\}$, откуда $a=b$. Таким образом, $f$ --- инъекция, а значит, мономорфизм. \ent \end{frame} \begin{frame} \small \begin{lem5} Пусть $f:K\to L$ --- изоморфизм колец. Тогда и $f^{-1}: L\to K$ --- изоморфизм колец. \end{lem5} \smallskip \prf $\bullet$ Достаточно доказать, что $f^{-1}$ --- гомоморфизм (так как отображение, обратное к биекции --- биекция). \smallskip $\bullet$ Рассмотрим любые $a,b\in L$. \smallskip $\bullet$ Пусть $w= f^{-1}(a+b)-f^{-1}(a)-f^{-1}(b)$. Так как $f$ --- гомоморфизм, имеем $$f(w)= f(f^{-1}(a+b))-f(f^{-1}(a)) - f(f^{-1}(b)) = a+b -a-b=0.$$ \smallskip $\bullet$ Из $( f(w)=0=f(0)$ и того, что $f$ --- биекция, следует $w=0$. \smallskip $\bullet$ Следовательно, $f^{-1}(a+b)=f^{-1}(a)+f^{-1}(b)$. \smallskip $\bullet$ Пусть $z= f^{-1}(ab)-f^{-1}(a)f^{-1}(b)$. Так как $f$ --- гомоморфизм, имеем $$f(z)= f(f^{-1}(a b))-f(f^{-1}(a)) \cdot f(f^{-1}(b)) = a b -ab=0.$$ \smallskip $\bullet$ Из $ f(z)=0=f(0)$ и того, что $f$ --- биекция, следует $z=0$. \smallskip Следовательно, $f^{-1}(ab)=f^{-1}(a) \cdot f^{-1}(b)$. \ent \end{frame} \begin{frame} \small \begin{defin} Если существует изоморфизм $f: K\to L$, то говорят, что эти кольца \sini{изоморфны}. Обозначение: $K\simeq L$. \end{defin} \begin{thm0} $\simeq$ --- отношение эквивалентности на множестве всех колец. \end{thm0} \smallskip \prf $\bullet$ Рефлексивность очевидна: тождественное отображение $\id: K\to K$ (заданное формулой $\id(x)=x$ для всех $x\in K$) очевидно, является изоморфизмом. \smallskip $\bullet$ Симметричность доказана в Лемме 5. \smallskip $\bullet$ Докажем транзитивность. Пусть $K,L,M$ --- кольца, $K\simeq L$ и $L\simeq M$. \smallskip $\bullet$ Тогда существуют изморфизмы $f: K\to L$ и $g: L\to M$. Докажем, что их композиция $g\cdot f: K \to M$ (заданная правилом $gf (a):=g(f(a))$) также является изоморфизмом. \smallskip $\bullet$ Композиция биекций $g$ и $f$, очевидно, является биекцией. \smallskip $\bullet$ Проверим, что $gf$ --- гомоморфизм колец: $gf(a+b)= g(f(a+b))= g(f(a) + f(b)) = g(f(a)) + g(f(b)) = gf(a) + gf(b)$; \smallskip $gf(ab)= g(f(ab))= g(f(a) \cdot f(b))= g(f(a)) \cdot g(f(b)) = gf(a) \cdot gf(b)$. \ent \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Идеал} \small \begin{defin} Пусть $K$ --- коммутативное кольцо. Множество $I\subset K$ --- \sini{\em идеал } в $K$, если $I$ --- подкольцо $K$ и выполнено следующее условие: \smallskip \centerline{$\forall x\in K$ и $\forall a\in I$ \qquad $ax \in I$. } \end{defin} $\bullet$ В любом кольце $K$ есть два ``неинетересных'' идеала: это $\{0\}$ и $K$. \begin{lem6} Пусть $K$ --- коммутативное кольцо, %c 1, $I \subset K$. Пусть выполнены следующие условия: $1^\circ$ \sini{Замкнутость по +}\ $\forall\: a,b\in I$ \quad $a+b\in I$. \smallskip $2^\circ$ \sini{$\exists$ обратного элемента по +}\ $\forall\: a \in I$ \quad $\exists (-a) \in I$. \smallskip $3^\circ$ \sini{Замкнутость по $\cdot$ на элементы $K$}\ $\forall x\in K$ и $\forall a\in I$ \qquad $ax \in I$ \smallskip Тогда $I$ --- идеал в $K$. \end{lem6} \smallskip \prf $\bullet$ По Лемме 1, $I$ --- подкольцо $K$. \smallskip $\bullet$ Теперь по условию~$3^\circ$ несложно понять, что $I$ --- идеал. \ent \end{frame} \begin{frame} \small \begin{lem7} Пусть $K$ --- коммутативное кольцо, $\varphi: K\to L$ --- гомоморфизм колец. Тогда $\ker(\varphi)$ --- идеал в $K$. \end{lem7} \smallskip \prf $\bullet$ По Лемме 3, $\ker(\varphi)$ --- подкольцо $K$. \smallskip $\bullet$ Пусть $a\in \ker(\varphi)$ и $x\in K$. Тогда $\varphi(ax)= \varphi(a) \cdot \varphi(x) = 0\cdot \varphi(x)=0$, а значит, $ax \in \ker(\varphi)$ \smallskip $\bullet$ По Лемме 6, $\ker(\varphi)$ --- идеал в $K$. \ent \begin{lem8} Пусть $ K$ --- коммутативное кольцо с 1, $I$ --- идеал в $K$, а $x\in I$ --- обратимый элемент кольца $K$. Тогда $I=K$. \end{lem8} \smallskip \prf $\bullet$ Так как $x^{-1}\in K$ и $x\in I$, мы имеем $1=x\cdot x^{-1} \in I$. \smallskip $\bullet$ $\forall y\in K$ имеем $y=y\cdot 1\in I$. Значит, $I=K$. \ent \begin{cor1} Пусть $K$ --- поле, а $I$ --- идеал в $K$. Тогда $I=K$ или $I=\{0\}$. \end{cor1} \smallskip \prf $\bullet$ Предположим, что $I\ne \{0\}$. Тогда $\exists a\in I$, $a\ne 0$. Так как $a$ --- обратимый элемент (как все ненулевые элементы поля), $I=K$ по Лемме~8. \ent \end{frame} \begin{frame} \small \begin{cor2} Пусть $K$ --- поле, $L$ --- кольцо, а $f:K\to L$ --- гомоморфизм колец. Тогда либо $\Im(f)=\{0\}$, либо $f$ --- мономорфизм. \end{cor2} \smallskip \prf $\bullet$ По Лемме 7 $\ker(f)$ --- идеал в поле $K$. \smallskip $\bullet$ Тогда по Следствию 1 либо $\ker(f)=K$, либо $\ker(f)=\{0\}$. \smallskip $\bullet$ Если $\ker(f)=K$, то $\Im(f)=\{0\}$. \smallskip $\bullet$ Если $\ker(f)=\{0\}$, то $f$ --- мономорфизм. \ent \smallskip \begin{defin} Пусть $K$ --- коммутативное кольцо, $M\subset K$. Тогда \smallskip $\langle M\rangle := \{m_1x_1+\dots +m_sx_s\::\: m_1,\dots, m_s \in M,\: x_1,\dots, x_s \in K\} \ - $ \smallskip \sini{\em идеал, порожденный множеством $M$} (здесь количество элементов $s$ не фиксировано и может быть любым натуральным числом). \end{defin} $\bullet$ Идеал, порожденный $M$ --- множество всех линейных комбинаций элементов из $M$. \smallskip \sini{Определение.} \quad Пусть $K$ --- коммутативное кольцо. \smallskip 1) Пусть $m\in K$. Тогда $mK=\{ mx \::\:x\in K\}$ --- \sini{\em главный идеал}. \smallskip 2) Если все идеалы в кольце $K$ --- главные, то $K$ --- \sini{\em кольцо главных идеалов}. \end{frame} \begin{frame} %\small \begin{lem9} Пусть $K$ --- коммутативное кольцо, $M\subset K$. Тогда $\langle M\rangle $ --- идеал в $K$. \end{lem9} \smallskip \prf $\bullet$ Нужно проверить условия из Леммы 6. \smallskip $\bullet$ Пусть $a,b\in \langle M\rangle $. Тогда существуют такие $m_1,\dots, m_s\in M$, $a_1,\dots, a_s,b_1,\dots, b_s\in K$, что $a=a_1m_1 + \dots + a_sm_s$ и $b=b_1m_1 + \dots + b_sm_s$ (можно считать, что $a$ и $b$ --- линейные комбинации одних и тех же элементов $M$, при необходимости добавив слагаемые с нулевыми коэффициентами). \smallskip $\bullet$ $-a = (-a_1)m_1+\dots + (-a_s)m_s \in \langle M\rangle $. \smallskip $\bullet$ Тогда $a+b=(a_1+b_1)m_1+\dots + (a_s+b_s)m_s \in \langle M\rangle $. \smallskip $\bullet$ Для любого $x\in K$, $ax=(a_1x)m_1+\dots + (a_sx)m_s \in \langle M\rangle $. \smallskip $\bullet$ Условия Леммы 6 проверены, а значит, $\langle M\rangle $ --- идеал в~$K$. \ent \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Сравнение по модулю идеала} \small $\bullet$ Пусть $K$ --- коммутативное кольцо, $I$ --- идеал в $K$. \begin{defin} Пусть $a,b \in K$. Тогда $a\equiv_I b$ (или, что то же самое, \noindent $a\equiv b \pmod{I}$), если и только если $a-b\in I$. \end{defin} \begin{lem10} $\equiv_I$ --- отношение эквивалентности (то есть, рефлексивно, симметрично и транзитивно). \end{lem10} \smallskip \prf $\bullet$ $a\equiv_I a$, так как $a-a=0\in I$. \smallskip $\bullet$ Если $a\equiv_I b$, то $a-b\in I$. Значит, $b-a\in I$, откуда $b\equiv_I a$. \smallskip $\bullet$ Если $a\equiv_I b$ и $b\equiv_I c$, то $a-b, b-c\in I$. Значит, $a-c=(a-b)+(b-c)\in I$, откуда $a\equiv_I c$. \ent \begin{defin} \sini{\em Вычет} по модулю идеала $I$ --- это класс эквивалентности по $ \equiv_I$. \end{defin} \smallskip $\bullet$ Различные вычеты не пересекаются. Кольцо $K$ разбито на вычеты. \end{frame} \begin{frame} \small \frametitle{Факторкольцо} $\bullet$ Для $a\in K$ вычет, состоящий из элементов кольца, сравнимых с $a$, как правило, будем обозначать через $\ov{a}$. \smallskip $\bullet$ Из определения следует, что $\ov{a}=a+I=\{a+x\::\: x\in I\}$. \smallskip \begin{defin} $\bullet$ Пусть $K$ --- коммутативное кольцо, $I$ --- идеал в $K$. \sini{\em Факторкольцо} $K/I:=\{\ov{a}\::\: a\in K \}$. \smallskip $\bullet$ $\ov{a}+\ov{b}:=\ov{a+b}$; \qquad $\ov{a}\cdot \ov{b}:=\ov{ab}$. \end{defin} \begin{lem11} $+$ и $\cdot$ в $K/I$ определены корректно. \end{lem11} \smallskip \prf $\bullet$ Пусть $a\equiv_I a'$, то есть, $\ov{a}=\ov{a'}$. Это означает, что $a-a'\in I$. Докажем, что от замены $a$ на $a'$ результат $+$ и $\cdot$ не изменится: \begin{multline*} \ov{a}+\ov{b} = \ov{a'} +\ov{b} \iff a+b \equiv_I a'+ b \iff a+b-(a'+b) =a-a' \in I; \end{multline*} \begin{multline*} \ov{a}\cdot \ov{b} = \ov{a'} \cdot \ov{b} \iff ab \equiv_I a'b \iff \\ ab-(a'b) =(a-a')b \in I \Leftarrow a-a' \in I. \hfil \Box \end{multline*} \end{frame} \begin{frame} \small \begin{thm1} $\bullet$ $K/I$ с определенными выше $+$ и $\cdot$ --- коммутативное кольцо. \smallskip $\bullet$ Если $K$ --- кольцо с $1$, то $K/I$ --- тоже. Если при этом $a\in K$ --- обратимый элемент в $K$, то $\ov{a}$ --- обратимый в $K/I$. \end{thm1} \smallskip \prf $\bullet$ Так как $\ov{a}+\ov{b}=\ov{a+b}$, из ассоциативности и коммутативности $+$ в $K$ следует ассоциативность и коммутативность $+$ в $K/I$. \smallskip $\bullet$ Так как $\ov{a}\cdot \ov{b}=\ov{a b}$, из ассоциативности и коммутативности умножения в $K$ следует ассоциативность и коммутативность умножения в $K/I$. \smallskip $\bullet$ \sini{Дистрибутивность}: $\ov{a}(\ov{b}+\ov{c}) = \ov{a ( b + c)} = \ov{ab + ac} =\ov{a}\cdot\ov{b} + \ov{a}\cdot\ov{c}.$ \smallskip $\bullet$ \sini{Ноль} --- это $\ov{0}$. \smallskip $\bullet$ \sini{Обратный по сложению:} \quad $-\ov{a}:=\ov{-a}$. \smallskip $\bullet$ \sini{Единица:} если $1\in K$, то $\ov{1}$ --- единица в $K/I$. \smallskip $\bullet$ Если $a\in K$ --- обратимый, то $(\ov{a})^{-1}:= \ov{{a}^{-1}} $ --- обратный в~$K/I$. \ent \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Теорема о гомоморфизме колец} \small \begin{thm2} Пусть $K,L$ --- коммутативные кольца, $f:K\to L$ --- гомоморфизм. Тогда $K/\Ker(f) \simeq \Im(f)$. Более того, отображение $\ov{f}: K/\Ker(f) \to \Im(f)$, заданное формулой $\ov{f}(\ov{x}):=f(x)$, является изоморфизмом колец. \end{thm2} \smallskip \prf $\bullet$ % Определим $\ov{f}: K/\Ker(f) \to \Im(f)$ так: $\ov{f}(\ov{x}):=f(x)$. Докажем корректность определения $\ov{f}$. Пусть $\ov{x}=\ov{y}$. Тогда $x-y \in \Ker(f)$, а значит, $f(x)= f(y)+f(x-y) = f(y)+0 = f(y)$. \smallskip $\bullet$ Теперь ясно, что $\ov{f}$ --- гомоморфизм: $\ov{f}(\ov{x} +\ov{y})= \ov{f}(\ov{x + y})= f ( x + y )= f(x)+f(y)= \ov{f}(\ov{x})+\ov{f}(\ov{y})$; $\ov{f}(\ov{x} \cdot \ov{y})= \ov{f}(\ov{x \cdot y})= f ( x y )= f(x) f(y)= \ov{f}(\ov{x}) \cdot \ov{f}(\ov{y})$. \smallskip $\bullet$ Очевидно, $\ov{f}$ --- сюръекция: $\forall y\in \Im(f)\ \exists x\in K$ такой, что $y=f(x)$. Тогда и $ y = \ov{f}(\ov{x})$. \smallskip $\bullet$ Пусть $\ov{a}\in \Ker(\ov{f})$. Тогда $0=\ov{f}(\ov{a})= f(a)$, а значит, $a\in \Ker(f)$, откуда следует $\ov{a}=\ov{0}$. Следовательно, $\Ker(\ov{f})=\{\ov{0}\}$. \smallskip $\bullet$ Таким образом, $\ov{f}$ --- изоморфизм, а значит, $K/\Ker(f) \simeq \Im(f)$. \ent \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Поле частных} \small $\bullet$ Пусть $K$ --- коммутативное кольцо \sini{без делителей ноля} (то есть, если $a,b\in K$ и $ab=0$, то $a=0$ или $b=0$). \smallskip $\bullet$ Обозначим через $M$ множество всех \sini{дробей} ${a\over b}$, где $a,b\in K$, $b\ne 0$. \smallskip $\bullet$ Пусть ${a\over b}\sim {c\over d} \iff ad=bc$. \begin{prop1} ${0\over b} \sim {c\over d} \iff c=0$. \end{prop1} \smallskip \prf \sini{$\Leftarrow$.} Если $c=0$, то $0\cdot d=0=b\cdot0$. \smallskip \sini{$\Rightarrow$.} ${0\over b} \sim {c\over d} \Rightarrow 0=0\cdot d= bc$. Так как по определению $b\ne 0$, а делителей 0 в $K$ нет, $c=0$. \ent \begin{prop2} ${a\over a} \sim {c\over d} \iff c=d$. \end{prop2} \smallskip \prf Очевидно, $a\ne0$. Следовательно, ${a\over a} \sim {c\over d} \iff ad=ac \iff a(d- c)=0 \iff d-c=0 \iff c=d$. \ent \begin{prop3} {\bf Сокращение дроби.} ${a\over b} \sim {ac\over bc} $ при $c\ne 0$. \end{prop3} \smallskip \prf $abc-bac=0$. \ent \end{frame} \begin{frame} % \small \begin{lem12} $\sim$ --- отношение эквиваленности. \end{lem12} \smallskip \prf $\bullet$ \sini{Рефлексивность} очевидна. \smallskip $\bullet$ \sini{Симметричность.} $ {a\over b}\sim {c \over d} \iff ad=bc \iff cb = da \iff {c \over d} \sim {a\over b}$. \smallskip $\bullet$ \sini{Транзитивность.} Если $ {a\over b}\sim {c \over d}$ и ${c \over d}\sim {e \over f}$, то $ad=bc$ и $cf=de$. \smallskip $\bullet$ Если хотя бы одно из $a,c,e$ равно 0, то по Свойству 1 равны и два других. Тогда $ {a\over b}\sim {e \over f}$. \smallskip $\bullet$ Пусть $0\notin \{a,c,e\}$. Тогда перемножим полученные равенства и сократим на $cd\ne 0$: \quad $adcf=bcde \Rightarrow af = be \Rightarrow {a\over b}\sim {e \over f}$. \ent % % \smallskip % \begin{defin} % \sini{Поле частных} $F$ коммутативного кольца $K$ без делителей ноля состоит из классов эквивалентности дробей. % Мы будем обозначать класс эквивалентности дроби ${a\over b}$ в точности так же, как саму эту дробь. % % \smallskip % \sini{Сложение:} ${a\over b}+{c\over d}:= {ad+bc\over bd}$. % % \smallskip % \sini{Умножение:} ${a\over b}\cdot {c\over d}:= {ac\over bd}$. % \end{defin} % % \end{frame} \begin{frame} \smallskip \begin{defin} \sini{Поле частных} $F$ коммутативного кольца $K$ без делителей ноля состоит из классов эквивалентности дробей. Мы будем обозначать класс эквивалентности дроби ${a\over b}$ в точности так же, как саму эту дробь. \smallskip \sini{Сложение:} ${a\over b}+{c\over d}:= {ad+bc\over bd}$. \smallskip \sini{Умножение:} ${a\over b}\cdot {c\over d}:= {ac\over bd}$. \end{defin} \medskip \begin{prop4} ${a\over d}+ {c\over d} = {a+c\over d} $. \end{prop4} \smallskip \prf ${a\over d}+ {c\over d} = {ad+cd\over d^2}= {a +c \over d }$ по Свойству 3. \end{frame} \begin{frame} \small \begin{lem13} Сложение и умножение в поле частных определены корректно, то есть, результат не зависит от замены дроби на эквивалентную \end{lem13} \smallskip \prf $\bullet$ Достаточно доказать, что при замене первой дроби ${a\over b}$ на эквивалентную дробь ${a'\over b'}$ результат сложения и умножения не изменится. Отметим, что $ab'=a'b$. \smallskip $\bullet$ \sini{Сложение} (мы можем сократить на $d^2$, так как $d\ne 0$): \begin{multline*} {a\over b}+{c\over d} = {ad+bc\over bd} \sim {a'\over b'}+{c\over d} = {a'd+b'c\over b'd} \iff \\ (ad+bc)b'd=(a'd+b'c) bd \iff adb'd+bcb'd=a'dbd+b'cbd \\ \iff ab'd^2= a'bd^2 \iff ab'=a'b. \end{multline*} $\bullet$ \sini{Умножение.} Если $c=0$, утверждение следует из Свойства 1. Иначе можно сокращать на $cd$: \begin{multline*} {a\over b}\cdot {c\over d} = {a c\over bd} \sim {a'\over b'}\cdot {c\over d} = {a' c\over b'd} \iff acb'd =a'cbd \iff ab' = a' b . \end{multline*} \ent \end{frame} \begin{frame} \small \begin{thm3} Поле частных $F$ коммутативного кольца $K$ без делителей ноля --- поле. \end{thm3} \smallskip \prf \sini{Коммутативность} сложения и умножения очевидно следуют из аналогичных свойств в $K$. \medskip \sini{Ассоциативность сложения.} $$\biggl({a\over b}+{c\over d}\biggr) + {e\over f} = {ad+bc\over bd} + {e\over f} = {adf+bcf+bde\over bdf}. $$ В каждом из слагаемых три сомножителя, один числитель и два знаменателя других дробей. Легко понять, что при другом порядке сложения будет то же самое. \medskip \sini{Ноль.} Дроби вида ${0\over b}$ ($b\in K$, $b\ne 0$) образуют класс эквивалентности по Свойству 1. Несложно проверить, что это класс и будет 0 в поле частных: ${0\over b}+{c\over d}= {bc\over bd}= {c\over d}$. \medskip \sini{Обратный элемент по $+$.} Положим \quad $-\bigl({a\over b}\bigr) :={-a \over b}$. \smallskip Проверка: ${-a\over b}+{a\over b}={0\over b^2}=0$. \end{frame} \begin{frame} \small %\smallskip \sini{Ассоциативность умножения.} $$\biggl({a\over b}\cdot{c\over d}\biggr) \cdot {e\over f} = {a c\over bd} \cdot {e\over f} = {a ce\over bdf}. $$ Легко понять, что при другом порядке умножения будет то же самое. \smallskip \sini{Дистрибутивность.} \begin{multline*} \biggl({a\over b}+ {c\over d}\biggr) \cdot {e\over f} = {ad+bc\over bd}\cdot {e\over f} = {ade+bce\over bdf}= {ade\over bdf}+{ bce\over bdf}= {ae\over bf}+{ ce\over df} \end{multline*} (последний переход верен по Свойству 3). \medskip \sini{Единица.} В качестве 1 подойдет класс эквивалентности дробей вида ${a\over a}$, где $a\ne 0$. \smallskip \sini{Обратный элемент по умножению.} Для дроби ${a\over b}$, где $a\ne 0$ положим \quad $\bigl({a\over b}\bigr)^{-1}:={b\over a}$. \smallskip Проверка: \quad ${a\over b}\cdot {b\over a} = {ab\over ba}=1$ по определению. \ent \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Вложение кольца в поле частных} \begin{lem14} Пусть $K$ --- коммутативное кольцо с 1 без делителей 0, а $F$ --- его поле частных. Тогда отображение $\varphi:K\to F$, заданное формулой $\varphi(a)={a\over 1}$ --- мономорфизм колец. \end{lem14} \smallskip \prf $\bullet$ Проверим, что $\varphi$ --- гомоморфизм колец. Пусть $a,b \in K$. \smallskip $\bullet$ \quad $\varphi(a )+\varphi( b) = {a\over 1}+{b\over 1}= {a\cdot 1 +b\cdot 1 \over 1\cdot 1}= {a +b \over 1 } =\varphi(a+b).$ \smallskip $\bullet$ \quad $\varphi(a)\varphi(b) = {a\over 1}\cdot{b\over 1}= {a b \over 1\cdot 1}= \varphi(a b).$ \smallskip $\bullet$ Пусть $a\in \Ker(\varphi)$. Тогда $0=\varphi(a)={a\over 1} \iff a=0.$ \ent \smallskip $\bullet$ Далее мы будем отождествлять число $a\in K$ с дробью ${a\over 1}\in F$ и считать, что $K\subset F$. \end{frame} \begin{frame} % \small \frametitle{Характеристика поля} \begin{defin} Пусть $K$ --- поле. \smallskip $\bullet$ Положим $\un{k}:=\underbrace{1+1+\dots+1}_k$ для $k\in \N$ и $\un{k}:=-(\underbrace{1+1+\dots+1}_{-k})$ для отрицательных $k\in \Z$, а также $\un{0}=0$. \smallskip $\bullet$ Если существует такие $k\in \N$, что $\un{k}=0$, то \sini{характеристика поля} $\char(K)$ равна наименьшему из таких чисел. \smallskip $\bullet$ Если же таких натуральных чисел нет, то считается, что $\char(K)=0$. \end{defin} \end{frame} \begin{frame} % \smallskip $\bullet$ Несложно проверить, что $\un{a}+\un{b}=\un{a+b}$. \smallskip $\bullet$ Раскрыв скобки по дистрибутивности, можно убедиться в том, что $\un{a}\cdot\un{b}=\un{ab}$. \begin{lem15} Пусть $K$ --- поле и $\char(K)=p\ne 0$. Тогда $p\in \P$. \end{lem15} \smallskip \prf $\bullet$ Пусть $p=ab$, где $1