{}\documentclass{beamer} %\documentclass[serif]{beamer} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphics} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[russian]{babel} \mode \usetheme{Goettingen} \setbeamercovered{highly dynamic} \setbeamerfont{normal text}{size=\normalsize,series=\normalfont,family=\rmfamily} \setbeamerfont{frametitle}{size=\normalsize,series=\bfseries} \def\leq{\leqslant} \def\geq{\geqslant} \theoremstyle{plain} \newtheorem{prop1}{Свойство 1} \newtheorem{prop2}{Свойство 2} \newtheorem{prop3}{Свойство 3} \newtheorem{prop4}{Свойство 4} \newtheorem{prop5}{Свойство 5} \newtheorem{prop6}{Свойство 6} \newtheorem{prop7}{Свойство 7} \newtheorem{prop8}{Свойство 8} \newtheorem{lem}{Лемма} \newtheorem{lem1}{Лемма 1} \newtheorem{lem2}{Лемма 2} \newtheorem{lem3}{Лемма 3} \newtheorem{lem4}{Лемма 4} \newtheorem{lem5}{Лемма 5} \newtheorem{lem6}{Лемма 6} \newtheorem{lem7}{Лемма 7} \newtheorem{claim}{Утверждение} \newtheorem{cor}{Следствие} \newtheorem{con}{Гипотеза} %\newtheorem{cor1}{Corollary 2} %\newtheorem{cor2}{Corollary 3} \newtheorem{thm}{Теорема} \newtheorem{thm1}{Теорема 1} \newtheorem{thm2}{Теорема 2} \newtheorem{thm3}{Теорема 3} %\newtheorem{Fthm}{Fary's Theorem} %\newtheorem{conjecture}{Conjecture} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defin}{Определение} %\newtheorem{str}{} % \title{Алгебра. Глава 1. Комплексные числа.} \author{Д.\,В.\,Карпов} % \date{2024} % \begin{document} \def\q#1.{{\bf #1.}} \def\Im{{\rm Im}} \def\Re{{\rm Re}} \def\Ker{{\rm Ker}} \def\Co{{\mathbb C}} \def\R{{\mathbb R}} \def\arg{{\rm arg}} \def\ov{\overline} \def\eps{{\varepsilon}} \def\N{{\mathbb N}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\d{{\rm dist}} \def\mmax{\mathop{\rm max}} \def\sd{\mathop{\triangle}} \def\ent{\hfill\textcolor[rgb]{0,0,1}{$\Box$}} \def\prf{ \textcolor[rgb]{0,0,1}{Доказательство. }} \def\sini{\textcolor[rgb]{0,0,1}} \begin{frame} \titlepage \end{frame} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{frame} \small \begin{defin} $\bullet$ Множество \sini{комплексных чисел} состоит из упорядоченных пар вещественных чисел: $$ \Co =\{(a,b)\::\: a,b\in \R \}. $$ \smallskip $\bullet$ Сложение: $(a,b)+ (a',b') := (a+ a',b+b')$. \smallskip $\bullet$ Умножение: $(a,b)\cdot (a',b') := (aa'-bb', ab'+ba')$. \end{defin} \begin{defin} $\bullet$ Пусть $z=(a,b)\in \Co$. \smallskip $\bullet$ \sini{Вещественная часть} $z$ --- это $\Re(z):=a$. \smallskip $\bullet$ \sini{Мнимая часть} $z$ --- это $\Im(z):=b$. \smallskip $\bullet$ \sini{Комплексное сопряжение:} $\ov{z}:=(a,-b)$. \smallskip $\bullet$ \sini{Норма} $z$ --- это $N(z):=a^2+b^2$. \smallskip $\bullet$ \sini{Модуль} $z$ --- это $|z|:=\sqrt{N(z)}=\sqrt{a^2+b^2}$. \end{defin} \smallskip $\bullet$ Очевидно, $\ov{\ov{z}}= z $. \end{frame} \begin{frame} \small \begin{thm1} $\Co$ --- поле. \end{thm1} \smallskip \prf $\bullet$ 1) и 2) Так как сложение в $\Co$ --- покомпонентное, \sini{ассоциативность} и \sini{коммутативность} наследуются из $\R$. \smallskip $\bullet$ 3) \sini{Ноль} в $\Co$ --- это $0:=(0,0)$. \smallskip $\bullet$ 4) \sini{Обратный элемент по +.} Для $z=(a,b)$ положим $-z:=(-a,-b)$. \smallskip $\bullet$ 7) \sini{Коммутативность умножения}: \begin{multline*} (a,b)\cdot (a',b')= (aa'-bb', ab'+ba')= \\(a'a-b'b, a'b+ b'a)= (a',b')\cdot (a ,b ). \end{multline*} \smallskip $\bullet$ 5) Достаточно проверить одну \sini{дистрибутивность} (так как умножение коммутативно): \begin{multline*} (a,b) \cdot ((c_1,d_1) + (c_2,d_2)) = (a,b) \cdot ( c_1+c_2,d_1+d_2 ) = \\ (a c_1+ ac_2 - bd_1-bd_2, ad_1+ ad_2 + bc_1+bc_2)= \\ (a c_1 - bd_1, ad_1+ bc_1) + (a c_2 - bd_2, ad_2+ bc_2)= (a,b) \cdot (c_1,d_1) + (a,b) \cdot (c_2,d_2). \end{multline*} \end{frame} \begin{frame} \small \smallskip $\bullet$ 6) \sini{ассоциативность умножения}: \begin{multline*} \bigl((a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2)\bigr) \cdot (a_3,b_3) = (a_1a_2-b_1b_2, a_1b_2+b_1a_2) \cdot (a_3,b_3) =\\ (a_1a_2a_3-b_1b_2a_3-a_1b_2b_3-b_1a_2b_3, \: a_1b_2a_3+b_1a_2a_3+a_1a_2b_3-b_1b_2b_3). \end{multline*} Нетрудно проверить, что при другом порядке получится то же самое (в вещественную часть попадают сомножители с четным числом $b$, в мнимую --- с нечетным, знак $-$ получается там, где более одной $b$). \smallskip $\bullet$ 8) \sini{Единица}: это $1:=(1,0)$. \smallskip $\bullet$ 9) \sini{Обратный элемент по $\cdot$.} Для $z=(a,b)$ положим $ z^{-1}:=( {a\over N(z)},{-b\over N(z)})$. Проверяем: \begin{multline*} zz^{-1}= (a,b) \cdot ( {a\over N(z)},{-b\over N(z)}) = ({a^2 +b^2\over N(z)}, {-ab+ba\over N(z)}) = (1,0). \end{multline*} \ent \end{frame} \begin{frame} \small \frametitle{Геометрическая интерпретация $\Co$ и тригонометрическая запись} $\bullet$ Рассмотрим декартову систему координат в $\R^2$, по оси абсцисс будем откладывать вещественную часть, а по оси ординат --- мнимую. Тогда комплексное сопряжение --- симметрия относительно оси абсцисс. \smallskip $\bullet$ Для числа $z=(a,b) \in \Co$ тогда $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ --- расстояние от начала координат до $z$. \smallskip $\bullet$ \sini{\em Аргумент } $z$ --- это направленный угол $\arg(z)=\varphi$ от оси абсцисс до луча $Oz$ против часовой стрелки. Вычисляется с точностью до прибавления $2\pi k$, где $k\in \Z$. \smallskip $\bullet$ Пара $(r,\varphi)$ однозначно задает точку $z$. \smallskip $\bullet$ $a=r \cos(\varphi)$, \quad $b=r \sin(\varphi)$. \smallskip $\bullet$ \sini{Тригонометрическая форма записи} комплексного числа: $z=(r\cos(\varphi),r \sin(\varphi))$. \smallskip $\bullet$ Если $z=(r\cos(\varphi),r \sin(\varphi))$, то $|z|=r$, $\arg(z)=\varphi$. \vskip-0,2cm \begin{figure}[!htb] \centering \includegraphics[width=0.25\columnwidth, keepaspectratio]{arg.pdf} % \caption{Выбор $a$, $b$ и $c$ в нетрёхсвязном графе $G$.} % \label{brooks2} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \small \begin{thm2} Пусть $x,y \in \Co$. Тогда $|xy|=|x||y|$ и $\arg(xy)=\arg(x)+\arg(y)$. \end{thm2} \smallskip \prf $\bullet$ Пусть $x=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))$, а $y=(p\cos(\psi),p\sin(\psi))$. Тогда \begin{multline*} xy=\\ \bigl(rp(\cos(\varphi)\cos(\psi)-\sin(\varphi)\sin(\psi)), rp(\cos(\varphi)\sin(\psi)+\sin(\varphi)\cos(\psi))\bigr)=\\ \bigl( rp \cos(\varphi+\psi), rp \sin(\varphi+\psi) \bigr). \end{multline*} $\bullet$ Следовательно, $|xy|=rp$ и $\arg(xy)=\varphi+\psi$. \ent \begin{thm3} \sini{Формула Муавра.} Пусть $z \in \Co$, $n\in \N$. Тогда $|z^n|=|z|^n$ и $\arg(z^n)=n\cdot\arg(z)$. \end{thm3} \smallskip \prf Индукция по $n$. \sini{База} $n=1$ очевидна. \smallskip \sini{Переход} $n\to n+1$. \smallskip $\bullet$ Пусть $|z|=r$, $\arg(z)=\varphi$ и утверждение доказано для $n$, то есть, $|z^n|=r^n$ и $\arg(z^n)=n\varphi$. \smallskip $\bullet$ По Теореме 2\quad $|z^{n+1}|=|z||z^{n}|=r\cdot r^n=r^{n+1}$ и $\arg(z^{n+1})= \arg(z)+\arg(z^{n}) = \varphi+n\varphi = (n+1)\varphi.$ \ent \end{frame} \begin{frame} \small \begin{lem1} Отображение $f:\R\to \Co$, заданное формулой $f(a)=(a,0)$ --- мономорфизм. \end{lem1} \smallskip \prf $\bullet$ Очевидно, $f$ --- инъекция. \smallskip $\bullet$ Нужно проверить, что это гомоморфизм. Пусть $a,b\in \R$. \smallskip $\bullet$ $f(a+b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0) = f(a)+f(b)$. \smallskip $\bullet$ $f(a b)=(a b,0)=(a,0)\cdot (b,0) = f(a) f(b)$. \ent \smallskip $\bullet$ Очевидно, $\Im(f)\simeq \R$. Таким образом, $\Co$ имеет подполе $\Im(f)$, изоморфное $\R$. В дальнейшем мы будем отождествлять каждое вещественное число $a$ с комплексным $(a,0)$. \smallskip $\bullet$ Теперь можно сказать, что для любого $z=(a,b)\in \Co$ выполнено: \smallskip \quad $ z\cdot \ov{z}=N(z)=N(\ov{z})$ (все это равно по $a^2+b^2$) и \smallskip \quad $ z+ \ov{z}=2\Re(z)=2\Re(\ov{z})$ (все это равно по $2a$). \smallskip $\bullet$ Сопряженные комплексные числа $z,\ov{z} \in \Co\setminus \R$ --- корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами $t^2- 2\Re(z) \cdot t +N(z)=0$. \end{frame} \begin{frame} \small \frametitle{Извлечение корня из комплексного числа} $\bullet$ Пусть $a \in \Co$ и $n\in \N$ фиксированы, $a\ne 0$. Решим уравнение $z^n=a$. \smallskip $\bullet$ Будем использовать представление комплексных чисел через модуль и аргумент. Тогда $a=(r,\varphi)$ (параметры даны) и $z=(p,\psi)$ (эти параметры мы ищем). \smallskip $\bullet$ По формуле Муавра, $p=\sqrt[n]{r}$. \smallskip $\bullet$ С аргументом сложнее. По формуле Муавра, $n\psi = \varphi +2\pi k$, где $k\in \Z$ (напомним, что аргумент вычисляется с точностью до $2\pi k$). Поделив на $n$, получаем $$\psi = {\varphi\over n} +{2\pi k\over n}. \eqno(1)$$ \smallskip $\bullet$ При $k\in \{0,1,\dots, n-1\}$ в (1) получается $n$ разных аргументов. \smallskip $\bullet$ Каждое число $k\in\Z$ можно представить в виде $k=qn+t$, где $0\le t