\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{latexsym,amssymb,amsthm}
 \usepackage{jury1}

% \textwidth180mm
% \textheight240mm
% \hoffset-20mm
\pagestyle{empty}
%\topmargin-16mm

\begin{document}




\def\q#1.{{\bf #1. }}
\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\P{\mathbb P}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R}
\def\F{\mathbb F}
\def\Re{\rm Re}

\def\tr{{\rm tr}}
\def\End{\rm End}
\def\Spec{\rm Spec}
\def\Im{\rm Im}
\def\C{\rm C}
\def\Co{\mathbb C}
\def\Cc{\rm  C}
\def\ord{\rm  ord}
\def\ra{\rm  rk}
\def\Lin{{\rm  Lin}}
\def\ov{\overline}
\def\eps{\varepsilon}

\large{
\centerline{ \bf Алгебра. Практика.   2026-27}
 

%%\small
\normalsize

\bigskip

\centerline{\bf Занятие 1.  09.09.2026.}
  
\smallskip
 

\q0.  Пусть $K$ --- кольцо, $a\in K$. Докажите, что $a\cdot 0=0$.


 \smallskip
\q1. Выполните деление:
${ 2 + 1i \over 1 - 2i}$.

\smallskip
\q2. Решите квадратное уравнение:
$x^2 - 4x+ 5 = 0$.

\smallskip
\q3. Найдите модуль и аргумент числа $-\sqrt{3} + i$.

 \smallskip
\q4.
Пусть $a=\cos({5\pi\over 7})+i\sin({5\pi\over 7})$
и  $b=\cos({4\pi\over 7})+i\sin({4\pi\over 7})$.
 
а) Найдите $(a+b)^4$.

б)   Найдите все корни  3 степени из $(a+b)$.

\smallskip
\q5. Комплексное число $z$ таково, что $z+{1\over z}= 2\cos(\alpha)$ (где $\alpha$ известно).
Найдите  $z^n+{1\over z^n}$.

\smallskip
\q6. Пусть $z\in \C$, $z\ne -1$, $|z|=1$. Докажите, что существует такое вещественное число $t$, что $z={1-ti\over 1+ti}$. 


% \smallskip
% \q4. Решите   уравнение:
%
% а)  $z^5=\ov{z}$;
%
% б)  $z^5+\ov{z}=0$.


\end{document}

\bigskip

\centerline{\bf Занятие 2.  16.09.2025.}
  
\smallskip


\q1. Пусть $x+iy=(s+it)^n$. Докажите, что $x^2+ y^2=(s^2+t^2)^n$.
 
\smallskip
 \q2. Решите   уравнение:

  а)  $z^5=\ov{z}$;
  б)  $z^5+\ov{z}=0$.

\q3. Найдите НОД и его линейное представление с помощью алгоритма Евклида:

а)~$(2453,2007)$;

   б)~$(2376,702)$.

   \smallskip
\q4. Последовательность чисел Фибоначчи  определяется соотношениями $F_1=F_2=1$, $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ при $n\ge 1$.

а)  Найдите $(F_n,F_{n+1})$.

б)  Найдите  линейное представление НОД $(F_n,F_{n+1})$.

\smallskip
\q5. Докажите, что все натуральные числа, имеющие нечетное число натуральных делителей --- это точные квадраты

\smallskip
\q6. Пусть $\varphi(n)$ --- количество натуральных  чисел от 1 до $n$, взаимно простых с $n$. Докажите, что
$\varphi(n) \kratno 2$ при $n>2$.
 



\bigskip
\newpage

\centerline{\bf Занятие 3.  23.09.2025.}
  
\smallskip


\q1.Решите в целых числах уравнение.

а)~$258x-172y=112$;

б)~$209x-513y=76$.

\q2. Натуральное число $n$ не имеет собственных делителей, больших 1 и не превосходящих $\sqrt{n}$. 
  Докажите, что $n\in \P$.


\q3. Докажите, что простых чисел вида $4k-1$ бесконечно много.


\smallskip
\q4. Докажите, что $d(n)$ (количество натуральных делителей $n$) мультипликативна (то есть $d(ab)=d(a)d(b)$ для взаимно простых натуральных $a$ и $b$).


\q5. а)  Верно ли, что $2\Z$ --- кольцо главных идеалов?

б) Опишите все идеалы в кольца  $2\Z$.





\bigskip
\newpage

\centerline{\bf Занятие 4.  30.09.2025.}

\smallskip


\q1. Найдите вычет обратный  $17$ по модулю $336$.

 \smallskip
  \q2.   Решите сравнение: \quad  а)  $91x \equiv 154 \pmod {112}$; \quad  а)  $76x \equiv 232 \pmod {220}$.



\q3.   Решите систему сравнений\\
\quad
а)~$
\left\{
   \begin{array}{l}
      x\equiv2\pmod{3}\\
      x\equiv4\pmod{5}\\
      x\equiv1\pmod{7}
   \end{array};
\right.$

\smallskip
\q4. Число $n\in \N$ имеет 15 натуральных делителей. Сколько простых делителей может иметь $n$?




\smallskip
\q5.
 Пусть $n\in \N$. Для $j\in\{0,1,2,3\}$ пусть  $S_j(n)=\Cc_n^j+ \Cc_n^{j+4}+\dots $ (сумма всех биномиальных коэффициентов с номерами, имеющими остаток $j$ от деления на 4).

\smallskip
a) Докажите, что $S_0-S_2= \Re((1+i)^n)$.

  \smallskip
б) Найдите  $S_0$, $S_1$, $S_2$ и $S_3$.



\bigskip
\newpage

\centerline{\bf Занятие 5.  7.10.2025.}

\smallskip
\q1.
Докажите, что функция Мёбиуса $\mu$ мультипликативна.



\smallskip
\q2.    Решите систему сравнений\\
\quad
а
$
\left\{
   \begin{array}{l}
      x\equiv 1 \pmod{7}\\
      x\equiv 37 \pmod{41}\\
      x\equiv 7 \pmod{85}
   \end{array}.
\right.$

 \q3.  Пусть $\rho \in \C$ --- корень 3 степени из 1, $a,b,c \in \R$. Докажите, что $ (a+b\rho+c\rho^2)^{13} (a+b\rho^2+c\rho)^{13} \in \R$.


\smallskip
\q4.
Число $n$ нечетно. Докажите, что $2^{n!}-1$ делится на~$n$.


\smallskip
\q5. Число $\varepsilon \in \C$ называется {\em первообразным} корнем из 1 степени $n$, если $\varepsilon^n=1$ и
$\varepsilon^k\ne 1$ при $k<n$.

а) Найдите сумму первообразных   корней степени $p$ из 1, где $p\in \P$.

\smallskip
б) Найдите сумму первообразных корней степени $p_1p_2 \dots p_k$ из 1, где $p_1,p_2, \dots, p_k\in \P$ --- разные.


\smallskip





\bigskip

\centerline{\bf Упражнения  для самостоятельной тренировки перед КР 1.  }

\smallskip

\q1. Решите в целых числах уравнение
\quad
 $561x-171y=24$.


\smallskip
\q2.
Найдите вычет, обратный к  $117$ по модулю $484$.
%; \quad б)~$107$ по модулю $466$.


\smallskip
\q3.
 Решите систему сравнений.
 \qquad
  $
  \left\{
     \begin{array}{l}
        x\equiv 3 \pmod{5}\\
        x\equiv 11 \pmod{13}\\
        x\equiv 51  \pmod{53}
     \end{array}.
  \right.$


  \newpage
\bigskip

\centerline{\bf Занятие 6.  21.10.2025.}

\smallskip


\q1.  Вещественные числа  $p,q$ таковы, что  $x^4+px+q \kratno x^2+10x+1$. Найдите $p$ и $q$.

\smallskip
\q2. С помощью алгоритма Евклида, найдите  $(x^7+x^2+1,x^{12}-1)$ и его линейное представление.




\smallskip
\q3. При каких $n$ многочлен $x^n-1$ делится на $x^2+x+1$?




  \smallskip
  \q4. Найдите все многочлены степени 4, дающие остаток $2x$ приделении на $(x-1)^2$ и остаток
  $3x$ при делении на $(x-2)^3$.



\smallskip
\q5.  a)   Пусть $n>m>0$, $c>0$. Докажите, что многочлен $ax^{n}+bx^m+c$ не может иметь корня кратности 3 и более.

 б) Пусть $n_k>n_{k-1}>\dots > n_0$. Докажите, что многочлен $a_kx^{n_k}+a_{k-1}x^{n_{k-1}}+\dots+ a_0x^{n_0} $ не может иметь ненулевого корня кратности  более $k$.

\bigskip

\newpage

\centerline{\bf Занятие 7.  28.10.2025.}

\smallskip


\q1. Какую кратность корня 1 может иметь многочен $x^{2n}-nx^{n+1}+nx^{n-1}-1$?


\smallskip


\q2. Найдите интерполяционный многочлен по точкам:

$x_0=1$, $x_1=2$, $x_2=3$, $x_3=4$, $x_4=5$,

$y_0=3$, $y_1=-10$, $y_2=5$, $y_3=7$, $y_4=8$.




\smallskip

\q3. Пусть  $\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ --- корни многочлена $x^3+3x+1$.
Вычислите

а) ${1\over (3-\alpha_1) } + {1\over (3-\alpha_2) } +{1\over (3-\alpha_3) } $, где $\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ --- корни многочлена $x^3+3x+1$.


б) ${1\over (3-\alpha_1)^2} + {1\over (3-\alpha_2)^2} +{1\over (3-\alpha_3)^2} $, где $\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ --- корни многочлена $x^3+3x+1$.

\smallskip

  \q4. $f(x)\in \C[x]$ --- многочлен с $\deg(f)<n$,
  а $\eps_1,\dots, \eps_n$ --- корни степени $n$ из 1.
  Известно, что $f(\eps_1)=y_1$, \dots, $f(\eps_n)=y_n$.
  Докажите, что $f(0)={y_1+\dots+y_n \over n}$.

  \smallskip


\q5. Пусть $\varphi(t)=(t-x_1)\dots (t-x_n)$, числа $x_1,\dots, x_n$ различны, $n>3$.
Найдите $\sum\limits_{i=1}^n {x_i\over \varphi'(x_i)}$.




\bigskip

\newpage

\centerline{\bf Занятие 8.  11.11.2025.}

\smallskip



\q1. Найдите интерполяционный многочлен по точкам:

$x_0=1$, $x_1=-1$, $x_2=i$, $x_3=-i$,

$y_0=3$, $y_1=4$, $y_2=1$, $y_3=1$.




\q2. Разложите в сумму простейших в $\Co(x)$ и в  $\R(x)$:

a)   ${x\over x^4-1}$;

б)   ${x\over x^n-1}$, где $n\in \N$, $n\ge 1$.

\smallskip



\q3.  Многочлен

 a) $f(x) \in \Co[x]$;

 б) $f(x) \in  K[x]$, где $K$ --- поле

 таков, что $f(x^n) \kratno  x-1 $. Докажите, что $f(x^n) \kratno (x^n-1) $.




 \bigskip
 \centerline{ \bf Неразобранные задачи}



\smallskip

  \q{7-4}. $f(x)\in \C[x]$ --- многочлен с $\deg(f)<n$,
  а $\eps_1,\dots, \eps_n$ --- корни степени $n$ из 1.
  Известно, что $f(\eps_1)=y_1$, \dots, $f(\eps_n)=y_n$.
  Докажите, что $f(0)={y_1+\dots+y_n \over n}$.

  \smallskip


\q{7-5}. Пусть $\varphi(t)=(t-x_1)\dots (t-x_n)$, числа $x_1,\dots, x_n$ различны, $n>3$.
Найдите $\sum\limits_{i=1}^n {x_i\over \varphi'(x_i)}$.



\smallskip
\q{6-5б}.  Пусть $n_k>n_{k-1}>\dots > n_0$. Докажите, что многочлен $a_kx^{n_k}+a_{k-1}x^{n_{k-1}}+\dots+ a_0x^{n_0} $ не может иметь ненулевого корня кратности  более $k$.



\newpage
\centerline{\bf Занятие 9.  18.11.2025.}

\smallskip


\q1. Разложите в сумму простейших ${x^3\over (x^2-1)^2}$ над $\R$.


\smallskip


\q2. Решите квадратное сравнение $x^2 +4x+6 \equiv 0 \pmod{17}$.

%
% \smallskip
%
% \q3. Найдите рациональные корни многочлена \quad $2x^3+3x^2+6x-4$.


 \smallskip
\q3. а) Найдите многочлен деления круга $\Phi_p(t)$, где $p\in \P$.

 б) Найдите многочлен деления круга $\Phi_{p^k}(t)$, где $p\in \P$.


 \bigskip
 \centerline{ \bf Неразобранные задачи}



\smallskip



\q{8-3б}.
\q3.  Многочлен
  $f(x) \in  K[x]$, где $K$ --- поле
 таков, что $f(x^n) \kratno  x-1 $. Докажите, что $f(x^n) \kratno (x^n-1) $.

\smallskip
\q{7-5}. Пусть $\varphi(t)=(t-x_1)\dots (t-x_n)$, числа $x_1,\dots, x_n$ различны, $n>3$.
Найдите $\sum\limits_{i=1}^n {x_i\over \varphi'(x_i)}$.






\newpage

\centerline{\bf Упражнения  для самостоятельной тренировки перед КР 2.  }

\smallskip



\q0.  Найдите наибольший общий делитель многочленов и  его
линейное представление:   $f(x)=x^{16}+x^8+1$ и $g(x)=x^3+1$.



\q{1}.  Найдите наибольшую возможную кратность корня~$-1$ у многочлена вида $ax^8+bx^7+1$ (коэффициенты $a$ и $b$ --- вещественные числа).

 \smallskip
\q2.    Постройте многочлен  $f$ наименьшей степени такой, что
$f (1) = -1$, $f (-1) = -3$, $f(i) = -1$,  $f(-i) = -1$.



\q3.
 Вычислите   ${1\over (2-\alpha_1)^2} + {1\over (2-\alpha_2)^2} +{1\over (2-\alpha_3)^2} $, где $\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ --- корни многочлена $x^3+x+3$.


\smallskip
\q4.   Разложите дробно-рациональную функцию $x\over  (x^2+1)^2 $ на простейшие над $\R$.




\smallskip
\q5.   Для каких пар натуральных чисел $k$ и $n$ многочлен $x^{k}+x^n+1$ делится на $x^2-x+1$?


\smallskip
\q6.   Пусть $p\in \P$. Найдите многочлен деления круга $\Phi_{2p}(t)$.


\smallskip



\centerline{\bf Занятие 10.  02.12.2024.}



  \smallskip

\q3. Докажите, что   уравнение $x^3  = 1 $ в $\Z_p$ имеет три решения при $p\equiv 1 \pmod 3$
и одно решение при $p\equiv 2 \pmod{3}$.


 \smallskip
\q4. Докажите, что  существует бесконечно много простых чисел вида $4k+1$.


 \smallskip
\q5. Докажите, что  существует бесконечно много простых чисел вида $6k+1$.


\centerline{\bf Занятие  11.  02.12.2025.}





\smallskip




\q1. Многочлен $f(x)\in \Z[x]$ таков, что $f(1)=111$ и $f(4)=117$. Докажите, что $f$ не имеет $\Z$ корней.

\smallskip
\q2. Докажите, что многочлен $x^4+ 2x^2+  3x  +1$ неприводим в~$\Z[x]$.

\q3. Многочлен $f\in \R[x]$ с $\deg(f)\le n$  принимает целые значения в точках $k$, $k+1$, \dots, $k+n$, где $k\in \Z$.
Докажите, что $f(\Z)\subset \Z$.


 \smallskip
\q4. Даны различные целые числа $a_1,\dots, a_n$. Докажите, что многочлен $f(x)=(x-a_1)\dots (x-a_n) -1 $ неприводим в $\Z[x]$


а) при нечетном $n$; \quad б) при   четном $n$.



\newpage  \centerline{ \bf Неразобранные задачи}


 \smallskip
\q{10-4}.
 Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида $6k+1$.




 \smallskip
\q{11-4}. Даны различные целые числа $a_1,\dots, a_n$. Докажите, что многочлен $f(x)=(x-a_1)\dots (x-a_n) -1 $ неприводим в $\Z[x]$


а) при нечетном $n$; \quad б) при   четном $n$.




\bigskip

\centerline{\bf Занятие  12.  09.12.2025.}




\q{1}.    Вектора $x,y,z$ линейно независимы. Являются ли линейно независимыми следующие тройки векторов:

a) $x+y$, $x+z$, $y+z$;

б) $x-y$, $x-z$, $y-z$ ?


\q2. Какие из данных подмножеств $K^3$ (где $K$ --- поле) являются линейными подпространствами? А какие аффинными?

a)  \quad $\{(2z+2x,z+x,z-x)\: : \: x,z\in K\}$.

б)   \quad $\{(2z+2, z+x+3, z-x)\: : \: x,z\in K\}$.

\smallskip
\q3.  Пусть $V_1,V_2,V_3$ --- линейные подпространства линейного про\-странcт\-ва $V$, причем $V_1$ --- подпространство $V_3$.
Докажите, что $(V_1+V_2)\cap V_3 =  V_1+V_2 \cap V_3$.




\smallskip
\q{4}.   Пусть  $p\in\P$.  Докажите, что многочлен $\Phi_{p}(x)=x^{p-1}+\dots + x+1$ неприводим в $\Z[x]$.




\newpage

\centerline{\bf Упражнения и задачи  для самостоятельной тренировки перед КР 3.  }

\smallskip



\q1.  Какие из данных подмножеств $K^3$ (где $K$ --- поле) являются линейными подпространствами? А какие аффинными?

a)  \quad $\{(2z+3x,z+4y,z-x+y)\: : \: x,z\in K\}$.

б)   \quad $\{(2z+3x-2, z+4y+3, z-x+y)\: : \: x,z\in K\}$.




\q2.      Найдите все рациональные корни многочлена  $ x^5-7x^3-12x^2 +6x+36$.


\q3.     Многочлен $f(x)\in \Z[x]$ имеет целый корень $\alpha$. Известно, что   $f(1) +f(2)=  41$ и $f(5)-f(4)=15$. Чему может быть равен   остаток   $\alpha$  от деления на 3?




\q4.      Докажите, что многочлен  $x^4-12x^3 +23x^2 +1  $ неприводим в~$\Z[x]$.



\q5.     Сколько решений имеет уравнение   Сколько решений имеет уравнение  $x^4  =-6 $ в $\F_{127}$? (Разумеется,   число 127 простое.)



\q6.      Многочлен $f(x)\in \Z[x]$ принимает значение $-1$ в пяти целых точках.
Докажите, что $f(x)\ne 1$ при $x\in \Z$.



\q7.   Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида $8k+7$.



\newpage


\centerline{\bf 2 семестр.  Занятие 1.   10.02.2026.}

\smallskip


\q{1}.  Пусть $(G,\cdot)$ --- группа.
Зададим операцию $*:G\times G\to G$ формулой $a*b:=b\cdot a$. Докажите, что $(G,*)$ --- группа.


\smallskip
\q{2}. Докажите, что $\ord(g)=\ord(g^{-1})$ для любого элемента $g\in G$.


\smallskip
\q{3}. Группа $G$ такова, что $a^2=e$ для любого $a\in G$. Докажите, что $G$ абелева.


\smallskip
\q{4}.  Пусть $G$ --- конечная группа, $|G|$ четно. Докажите, что существует такой $a\in G$, что $a\ne e$ и $a^2=e$.

%

\smallskip
 \q{5}. Докажите, что группа простого порядка ---  циклическая.


\smallskip
 \q{6}. Пусть $G$ --- группа, $a\in G$, $\ord(a)=k$, $\ell \in \N$. Докажите, что $\ord(a^{\ell})=
 {k\over (k,\ell) }$.

\smallskip
  \q{7}. Какие элементы
  $C_n$ порождают ее при

  a) $n\in \P$;

  б) произвольном $n$?


\newpage


\centerline{\bf 2 семестр.  Занятие 3.   03.03.2026.}

\smallskip


\q{0}. Ищем подгруппы $S_4$.





\q{1}. Пусть $A,B,C$ --- группы, а $\varphi:A\to B$ и $\psi:B\to C$ --- гомоморфизмы групп.

а) Докажите, что если $\psi\cdot \varphi$ --- мономорфизм, то и $ \varphi$ --- мономорфизм.



б) Докажите, что если $\psi\cdot \varphi$ --- эпиморфизм, то и $ \psi$ --- эпиморфизм.



\smallskip

\q{2}. a)  Докажите, что $[S_n,S_n]<A_n$.


б)  Докажите, что $[S_n,S_n]=A_n$.


\smallskip

\q{3}.  $H<G$, $(G:H)=2$. Докажите, что $H\lhd G$.



\smallskip

\q{4}. $G$ --- группа, $|G|=pq$, гда $p,q \in \P$, $p<q$. Пусть $H<G$, $|H|=q$. Докажите, что $H\lhd G$.




\newpage


\centerline{\bf 2 семестр.  Занятие 4.  10.03.2026.}

\smallskip



\q{1}. Пусть $K$ --- коммутативное кольцо с 1. Найдите все матрицы $A \in M_n(K)$, которые коммутируют со всеми матрицами (то есть, $AB=BA$ для любой $B \in M_n(K)$).



\q{2}.   С каким знаком входит в определитель матрицы $n\times n$ произведение элементов {\em побочной  диагонали} (содержащей элементы $a_{n,1}$, $a_{n-1,2}$, \dots $a_{1,n}$)?

 \smallskip


\q{3}.    Матрица $A\in M_{n}(\C)$ такова, что $a_{i,j}=\ov{a_{j,i}}$. Докажите, что  $\det(A) \in \R$.


\q{4}.    Найдите определитель :
$\left| \begin{array}{llllll}

x & y& 0& \dots & 0 & 0  \\
0 & x & y&  \dots & 0& 0 \\
& & &  \dots &  &\\
0 & 0 &0& \dots& x & y \\
y & 0 &0& \dots& 0 & x \\
\end{array}  \right|  .$


  \smallskip
\q{5}.       Найдите определитель  (числа $a_1,\dots, a_n$ считаются известными):
$\left| \begin{array}{lllll}

1 & a_1& a_1^2& \dots &  a_1^{n-1} \\
1 & a_2& a_2^2& \dots &  a_2^{n-1} \\
& & &  \dots    &\\
1 & a_n& a_n^2& \dots &  a_n^{n-1}
 \end{array}  \right|  .$






\newpage


\centerline{\bf 2 семестр.  Остатки.}

\smallskip



\q{4-1}. Пусть $K$ --- коммутативное кольцо с 1. Найдите все матрицы $A \in M_n(K)$, которые коммутируют со всеми матрицами (то есть, $AB=BA$ для любой $B \in M_n(K)$).



\q{4-5}.   Докажите, что
$\left| \begin{array}{lllll}

1 & a_1& a_1^2& \dots &  a_1^{n-1} \\
1 & a_2& a_2^2& \dots &  a_2^{n-1} \\
& & &  \dots    &\\
1 & a_n& a_n^2& \dots &  a_n^{n-1}
 \end{array}  \right|   = \prod\limits_{1\le i<j \le n} (a_i-a_j).$



\q1.
Найдите    \qquad
$ \Delta_n= \left| \begin{array}{ccccccc}
5 & 3& 0 & 0&  \dots & 0 & 0    \\
2 & 5& 3 & 0&  \dots & 0  & 0   \\
0 & 2 & 5& 3 &  \dots & 0  & 0   \\
0 & 0 & 2& 5 &  \dots & 0  & 0   \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots\\
0 &0 & 0& 0 & \dots & 5 & 3     \\
0 &0 & 0& 0 & \dots & 2 & 5     \\
 \end{array}  \right|$   (определитель матрицы из $M_{n}(\R)$).

\medskip


\q{2}.
   Найдите определитель :
$\left| \begin{array}{llll}

x_1y_1 & x_1y_2&   \dots &   x_1y_n  \\
x_2y_1& x_2y_2 &    \dots & x_2y_n \\
& &   \dots    &\\
x_ny_1 & x_ny_2  & \dots  & x_ny_n \\
\end{array}  \right|  .$


\q{3}.    Найдите определитель :
$\left| \begin{array}{llllll}

1 & 1& 0& 0 &  \dots & 0    \\
1 & \C_2^1 & \C_2^2 &  0 &  \dots& 0   \\
1 & \C_3^1 & \C_3^2& \C_3^3   &  \dots & 0   \\
& & &    & \dots  &\\
1 & \C_n^1 &\C_n^2& \C_n^3 & \dots & \C_n^{n-1} \\
 \end{array}  \right|  .$



 \newpage



\centerline{\bf 2 семестр.  Остатки.}

\smallskip



\q{4-1}. Пусть $K$ --- коммутативное кольцо с 1. Найдите все матрицы $A \in M_n(K)$, которые коммутируют со всеми матрицами (то есть, $AB=BA$ для любой $B \in M_n(K)$).



\q{5-3}.    Найдите определитель :
$\left| \begin{array}{llllll}

1 & 1& 0& 0 &  \dots & 0    \\
1 & \C_2^1 & \C_2^2 &  0 &  \dots& 0   \\
1 & \C_3^1 & \C_3^2& \C_3^3   &  \dots & 0   \\
& & &    & \dots  &\\
1 & \C_n^1 &\C_n^2& \C_n^3 & \dots & \C_n^{n-1} \\
 \end{array}  \right|  .$


\bigskip


\centerline{\bf 2 семестр.  Занятие 4.  24.03.2026.}

\smallskip


 \q1. Найдите собственные числа матрицы
\begin{tabular}{cccccc}
$2$ & $-1$ & 0 &   0  & 0 & 2 \\
0 & $2$ & 0 &   2  & $-1$ & 0 \\
0 & 0 & $-2$ &   $-4$  & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 &   $3$  & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 &   0  & $1$ & 1 \\
0 & 0 & 0 &   0  & 0 & $2$ \\
\end{tabular}




  \newpage

   \centerline{\bf 2 семестр. Задачи для подготовки к КР 1.  28.03.2026.}


\bigskip

\q{M1}. В матрице $A\in M_{n}(K)$ сначала переставили в обратном порядке все столбцы, а потом   переставили в обратном порядке все строки.
Как изменился $\det(A)$?



\q{M2}.
     Найдите определитель матрицы из $M_{n+1}(\R)$: \qquad
$\left| \begin{array}{llll}

1 & 1&     \dots & 1    \\
 \C_m^1 & \C_{m+1}^1   &  \dots & \C_{m+n}^1    \\
 \C_{m+1}^2 & \C_{m+2}^2   &  \dots & \C_{m+n+1}^2    \\
&       & \dots  &\\
 \C_{m+n-1}^n & \C_{m+n}^n   &  \dots & \C_{m+2n-1}^n    \\
 \end{array}  \right|  .$



\q{M3}.    Найдите    \qquad
$ \Delta_n= \left| \begin{array}{ccccccc}
12 & 9& 0 & 0&  \dots & 0 & 0    \\
4 & 12& 3 & 0&  \dots & 0  & 0   \\
0 & 4 & 12& 9 &  \dots & 0  & 0   \\
0 & 0 & 4& 12 &  \dots & 0  & 0   \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots\\
0 &0 & 0& 0 & \dots & 12 & 9     \\
0 &0 & 0& 0 & \dots & 4 & 12     \\
 \end{array}  \right|$   (определитель матрицы из $M_{n}(\R)$).



    \smallskip
\q{Г1}.   Пусть $\varphi_{a,b}(x)=ax+b$, а $G=\{\varphi_{a,b}\: |\: a,b\in \R\,, a\ne0\}$.

a) Докажите, что $G$ --- группа относительно композиции.

б)  Является ли $H=\{\varphi_{1,b}\: |\: b\in \R\}$ подгруппой $G$?


в)  Является ли $F=\{\varphi_{b,b}\: |\: b\in \R\,, b\ne0\}$ подгруппой $G$?



 \smallskip
\q{Г2}.  Пусть  $\varphi: G\to H$ --- гомоморфизм групп, причем группа $G$ --- абелева. Докажите, что $\Im(\varphi)$ абелева.


 \smallskip
\q{Г3}.
  Порождается ли  группа $S_{9}$  подстановками $(239)$ и $(124536897)$?


\smallskip
\q{Г4}. Найдите максимальный порядок элемента из \quad a) $S_5$; \quad б) $A_5$.

  \smallskip
\q{Г5}.
Пусть $H\lhd G$, $(G:H)=5$. Докажите, что $[G,G]<H$.



   \smallskip
  \q{Г6}.   Докажите, что любая бесконечная группа имеет бесконечно много подгрупп.

\newpage

 \bigskip
\centerline{\bf 2 семестр.  Занятие 9.  08.04.2024.}



\smallskip
\q{П3}.     Пусть $U,V$ --- конечномерные линейные пространства над $K$, а $\psi: U\to V$ ---   линейное отображение.
Для каждого из двух следущих равенств, докажите или опровергните его. Если равенство неверное, то докажите вместо него верное включение (в одну из сторон) и приведети контрпример к обратному включению.


\smallskip
а) Если $U_1,U_2\le  U$, то $\psi(U_1\cap U_2)= \psi(U_1)\cap \psi(U_2)$.

\smallskip
б) Если  $V_1,V_2\le V$, то $\psi^{-1}(V_1\cap V_2)= \psi^{-1}(V_1)\cap \psi^{-1}(V_2)$.





 \smallskip
\q1.    Приведите квадратичную форму к диагональному виду невырожденным преобразованием переменных:
 $f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)= 2x_1x_2 + x_3x_4  - x_1x_5  +6x_6^2$.



  \smallskip
\q2. Пусть $V$ --- конечномерное линейное пространство над $K$, а $\psi \in \End(V)$ --- обратимый оператор.

а) Докажите, что $0\notin \Spec(\psi)$.

б) Пусть $\Spec(\psi)=\{\lambda_1, \dots, \lambda_k\}$. Найдите $\Spec(\psi^{-1})$.


в) Пусть кратность каждого собственного числа $\lambda_i$ у оператора $\psi$ равна $m_i$. найдите кратности собственных чисел $\psi^{-1}$.


\newpage

 \bigskip
\centerline{\bf 2 семестр.  Занятие 10.  21.04.2024.}


 \smallskip
 \q1.
  Найдите ЖНФ оператора, заданного следующей матрицы, а также Жорданов базис.
\medskip

\begin{tabular}{rrrrrr}
$2$ & $-2$ & 0 &   0  & 0 & 1 \\
0 & $2$ & 0 &   2  & $-1$ & 0 \\
0 & 0 & $2$ &   $-4$  & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 &   $2$  & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 &   0  & $2$ & 1 \\
0 & 0 & 0 &   0  & 0 & $2$ \\
\end{tabular}

 \smallskip
\q2. Матрица $J_n(\lambda)$ --- это  жорданова  клетка $n\times n$ с $\lambda$ на диагонали.
Найдите $(J_n(\lambda))^k$ для любого $k\in \N$.







 \newpage

 \centerline{\bf 2 семестр.  Занятие   05.05.2026.}

 \smallskip
\q{9-2в}. Пусть $V$ --- конечномерное линейное пространство над $K$, а $\psi \in \End(V)$ --- обратимый оператор, $\Spec(\psi)=\{\lambda_1, \dots, \lambda_k\}$.
 Пусть кратность каждого собственного числа $\lambda_i$ у оператора $\psi$ равна $m_i$. найдите кратности собственных чисел $\psi^{-1}$.





 \smallskip
\q1. Будет ли скалярным произведением:

a) $(x,y) = 2x_1y_1 + 5x_2y_2$ в $\R^2$

б) $(A,B) = \tr(A^TB)$ в пространстве матриц $M_n(\R)$

 \smallskip
\q3. Пусть $A\in M_n(\C)$,  $k\in \N$,  $A^k=E_n$.

\quad a) Докажите, что все собственные числа $A$ --- корни из 1.

\quad б) Докажите, что $A$ диагонализируема.

 \smallskip
\q4. а) Докажите, что $\F_{16} = \F_{2}[x] / (x^4+x+1)\F_2(x)$.

 б) Найдите в $\F_{16}$ обратный элемент к $ {x^2+x}$ (используем представление пункта а).

в) Вычислите в $\F_{16}$ выражение ${x^5+2x+1\over x^2+x}$.




\newpage

\centerline{\bf Упражнения и задачи  для самостоятельной тренировки перед КР 3.  }

\smallskip



\q1.  Какие из данных подмножеств $K^3$ (где $K$ --- поле) являются линейными подпространствами? А какие аффинными?

a)  \quad $\{(2z+3x,z+4y,z-x+y)\: : \: x,z\in K\}$.

б)   \quad $\{(2z+3x-2, z+4y+3, z-x+y)\: : \: x,z\in K\}$.




\q2.      Найдите все рациональные корни многочлена  $ x^5-7x^3-12x^2 +6x+36$.


\q3.     Многочлен $f(x)\in \Z[x]$ имеет целый корень $\alpha$. Известно, что   $f(1) +f(2)=  41$ и $f(5)-f(4)=15$. Чему может быть равен   остаток   $\alpha$  от деления на 3?




\q4.      Докажите, что многочлен  $x^4-12x^3 +23x^2 +1  $ неприводим в~$\Z[x]$.



\q5.     Сколько решений имеет уравнение   Сколько решений имеет уравнение  $x^4  =-6 $ в $\F_{127}$? (Разумеется,   число 127 простое.)



\q6.      Многочлен $f(x)\in \Z[x]$ принимает значение $-1$ в пяти целых точках.
Докажите, что $f(x)\ne 1$ при $x\in \Z$.



\q7.   Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида $8k+7$.





\newpage

\centerline{\bf Упражнения и задачи  для самостоятельной тренировки перед КР 3.  }

\smallskip



\q1.  Какие из данных подмножеств $K^3$ (где $K$ --- поле) являются линейными подпространствами? А какие аффинными?

a)  \quad $\{(2z+3x,z+4y,z-x+y)\: : \: x,z\in K\}$.

б)   \quad $\{(2z+3x-2, z+4y+3, z-x+y)\: : \: x,z\in K\}$.




\q2.      Найдите все рациональные корни многочлена  $ x^5-7x^3-12x^2 +6x+36$.


\q3.     Многочлен $f(x)\in \Z[x]$ имеет целый корень $\alpha$. Известно, что   $f(1) +f(2)=  41$ и $f(5)-f(4)=15$. Чему может быть равен   остаток   $\alpha$  от деления на 3?




\q4.      Докажите, что многочлен  $x^4-12x^3 +23x^2 +1  $ неприводим в~$\Z[x]$.



\q5.     Сколько решений имеет уравнение   Сколько решений имеет уравнение  $x^4  =-6 $ в $\F_{127}$? (Разумеется,   число 127 простое.)



\q6.      Многочлен $f(x)\in \Z[x]$ принимает значение $-1$ в пяти целых точках.
Докажите, что $f(x)\ne 1$ при $x\in \Z$.



\q7.   Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида $8k+7$.




\end{document}

















\bigskip





 \smallskip
  \q1.
   Пусть $K$ --- поле, а $\varphi:K[t]\to K[t]$ --- оператор дифференцирования (то  есть, $\varphi(f)=f'$).

а) Докажите, что $\varphi\in \End(K[t])$.

б) Докажите, что $U=\{f\in K[t]\::\: f'''=0\}$ является $\varphi$-инвариантным подпространством.


\smallskip
\q2. Пусть $U_1<U_2<V$ --- линейные пространства.

а) Докажите, что $U_2/U_1 < V/U_1$.

б) Докажите, что $(V/U_1)/(U_2/U_1) \simeq  V/U_2$.


 \smallskip
\q3. Пусть $V$ --- линейное пространство над $\C$,  $\varphi \in \End(V)$. Найдите ЖНФ оператора $\varphi$, если:

a)  $\chi_{\varphi}(t)=(t-1)^n$, $\dim(\ker(\varphi-id)=k$ и $\dim(\ker((\varphi-id)^2)=k+1$;

б) $\varphi=\psi^2$, где $\psi$ имеет матрицу, состоящую из одной жордановой клетки собственного числа 1.



\newpage

\centerline{\bf Упражнения и задачи  для самостоятельной тренировки перед КР 2.  }

\smallskip


 \q{1}.
   Являются ли следующие отображения  $\varphi: \R^4 \to $ линейными:


а) $\varphi(x_1,x_2,x_3,x_4)= (x_2,x_1-x_3,  x_4+x_1+2x_2)$;

б) $\varphi(x_1,x_2,x_3, x_4)= (x_1,x_2^3, x_3^2, x_4+x_3 )$?

 Для тех отображений, что  являются линейными, запишите их матрицы в стандартных базисах пространств.



\smallskip
  \q2. а) Постройте ортогональный базис подпространства $V<\R^5$, заданного как
  $\Lin\bigl((1,2,1,3,0),(4,0,1,1,1), (3,1,1,0,0)\bigr)$.

  б) Найдите $V^\perp$ и его ортогональный базис.

  \q3. Приведите  квадратичную форму
$f(x_1,x_2,x_3,x_4)= 2x_1x_3 + 3x_2x_4    + 5 x_3^2$
 к диагональному виду невырожденным преобразованием переменных.


 \q4.   Пусть $n\ge 4$, а $e_1,\dots, e_n$ --- базис линейного пространства $V$ над полем
$\R$. При каких $n\in \N$ \quad   $e_1+e_2, e_2+e_3,\dots, e_n+e_1$ --- тоже базис   $V$?




 \q5.  Пусть $P$ и $Q$ --- аффинные подпространства линейного простраства $V$, а $W=P\cap Q$ непусто. Докажите, что $W$ --- также аффинное
подпространство $V$.





\q6.
   Матрица $A\in  M_{n}(K)$ обратима. Докажите,   $\chi_{A\cdot A^T}=\chi_{A^T\cdot A}$.


 \q7. Пусть $\dim V=n$, $x\in V$ и $\varphi \in \End(V)$ таковы, что вектора $\varphi(x)$, $\varphi^2(x)$, \dots, $\varphi^n(x)$
линейно независимы. Докажите, что  $\varphi$ обратим.





 \end{document}

 






  


 


\bigskip
 \centerline{\bf 2 семестр.  Занятие 12.  25.04.2022.}
   
  

\smallskip  
  \q1. а) Постройте ортогональный базис подпространства $V<\R^5$, заданного как
  $\Lin\bigl((1,2,1,3,0),(4,0,1,1,1), (3,1,1,0,0)\bigr)$.
  
  б) Найдите $V^\perp$ и его ортогональный базис.
  
 
\smallskip  
  \q2. Найдите ортогональную фундаментальную систему решений ОСЛУ:
  $$\left\{ \begin{array}{l}
             3x_1-x_2-x_3+x_4=0 \\
             x_1+2x_2-x_3-x_4=0.   
           \end{array} \right. $$
           
           
  
 
\smallskip  
  \q3.         
    Пусть $P$ и $Q$ --- аффинные подпространства линейного простраства $V$ , а $W=P\cap Q$ непусто. Докажите, что $W$ --- также аффинное
подпространство $V$. 
  
  
\q4.
Пусть $V$ --- линейное подпространство $\F^n_2$ (напомним, что $\F_2 = \{0, 1\}$ --- поле вычетов по модулю 2, а $\F_2^n$ --- множество из всех векторов-столбцов, каждый из которых состоит из $n$ нулей и единиц). Весом вектора из $F^n_2$ называется сумма его коэффициентов. 
Сколько может быть в $V$ векторов нечетного веса? 
  


   
  
 
  
\end{document}