
\documentclass[12pt,fleqn,a4paper]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{ntheorem}
\usepackage{tikz}
\usepackage{verbatim}

\usetikzlibrary{arrows,shapes}

\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\tikzstyle{edge} = [draw,thick,-]

\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem*{solution}{Решение}

\newenvironment{task}[2] {
	\noindent\fbox{\bf {#1} {#2}.}
}{
}

\newcommand{\mytitle}[2] {
  \begin{center}
      \bf {#1} {#2}.
  \end{center}
}

\let\origenumerate\enumerate
\let\origendenumerate\endenumerate
\renewenvironment{enumerate}{\origenumerate[topsep = 0pt, noitemsep]}{\origendenumerate}

\begin{document}
	\mytitle{Домашняя работа 1.}{Принцип Дирихле}
	\begin{task}{COMB}{8}
		(1 балл) Сколько чисел нужно выбрать из последовательности $1$, $2$, \dots, $2n$ что бы среди них гарантированно нашлась хотя бы одна пара с сумой
		$2n + 1$?
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{9}
		(1,5 балла) Доказать, что в любом $(n + 1)$-элементном подмножестве множества первых $2n$ чисел обязательно найдутся по крайней мере два взаимно-простых числа.
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{10}
		(2 балла) Имеется последовательность целых чисел $a_1$, \dots, $a_n$ доказать, что в ней имеется подпоследовательность $a_k$, \dots, $a_{k + l}$ такая, что
		$\sum\limits_{i = k}^{k + l} a_i$ делится на $n$.
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{11}
		(1 балл) Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске два поля, не лежащие
		на одной горизонтали или вертикали?
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{12}
		(1,5 балла) Объяснить комбинаторно равенство $\binom{n}{m} \cdot \binom{m}{k} = \binom{n}{k} \cdot \binom{n - k}{m - k}$. И с его помощью 
		доказать равенство $\sum\limits_{k = 0}^m \binom{n}{k} \cdot \binom{n - k}{m - k} = 2^m \binom{n}{m}$.
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{13}
		(1,5 балла). Сколько существует шестизначных чисел, сумма цифр которых не превосходит 47?
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{14}
		(2 балла) Докажите, что $(1 + x)^n + (1 - x)^n \le 2^n$ при $n \ge 1$ и $|x| \le 1$.
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

\end{document}