
\documentclass[12pt,fleqn,a4paper]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{ntheorem}
\usepackage{tikz}
\usepackage{verbatim}

\usetikzlibrary{arrows,shapes}

\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\tikzstyle{edge} = [draw,thick,-]

\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem*{solution}{Решение}

\newenvironment{task}[2] {
	\noindent\fbox{\bf {#1} {#2}.}
}{
}

\newcommand{\mytitle}[2] {
  \begin{center}
      \bf {#1} {#2}.
  \end{center}
}

\let\origenumerate\enumerate
\let\origendenumerate\endenumerate
\renewenvironment{enumerate}{\origenumerate[topsep = 0pt, noitemsep]}{\origendenumerate}

\begin{document}
	\mytitle{Домашняя работа 2.}{Биномиальные коэффициенты}
	\begin{task}{COMB}{15}
		(1 балл) На перекрестке имеется $6$ светофоров. Сколько существует различных состояний этих светофоров, 
		если каждый из них независимо от других имеет три возможных состояния - горит красный, горит желтый или горит зеленый?
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{16}
		(1 балл) Сколько существует шестизначных чисел все цифры которых имеют одинковую четность?
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{17}
		(1,5 балла) В алфавите племени Бум-Бум всего шесть букв. Любое слово состоит у них из шести символов,
		причем в каждом таком слове должны быть хотя бы две одинаковые буквы. 
		Сколько всего слов в языке племени Бум-Бум?
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{18}
		(2 балла) Доказать, что числа Стирлинга $S(n, n - 2)$ рассчитываются по формуле $S(n, n - 2) = \frac{n (n - 1) (n - 2) (3n - 5)}{24}$.
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{19}
		(2 балла) Булева функция $f(x_1, \dots, x_n)$ считается зависящей от своего параметра $x_i$, если существуют 
		такие $b_1$, \dots, $b_n$ такие, что $f(b_1, \dots, b_{i - 1}, 0, \dots, b_n) \neq f(b_1, \dots, b_{i - 1}, 1, \dots, b_n)$.
		Подсчитайте число функций которые зависят от всех своих $n$ аргументов.
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{20}
		(1 балл) Сосчитать количество размещений $n$ различимых предметов по $k$ различимым ящикам при условии, что ровно $r$ из $k$ ящиков должны быть заняты.
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

	\begin{task}{COMB}{21}
		(1,5 балла) Сколько существует разбиений $2n$-множества на два блока, размеры которых не равны между собой?
	\end{task}
	\begin{solution}
	\end{solution}

\end{document}