Студенческий конкурс решения задач
2001-2002 гг.
Задача 2. Корни комплексного многочлена и его производной. Пусть $P$ -- многочлен с комплексными коэффициентами степени $n$ и $A=(a_1,...,a_n)^\intercal$ -- вектор-столбец, состоящий из его корней (в произвольном порядке). Построим новый вектор $B=(b_1,...,b_{n-1},\beta)^\intercal$, где $b_1$, ..., $b_{n-1}$ -- корни производной $P'$ а $\beta=\sum a_i/n =\sum b_j/(n-1)$. Известно, что для любого многочлена корни производной лежат в выпуклой оболочке корней самого многочлена. Поэтому существует такая стохастическая матрица $M$ (т.е. матрица из вещественных неотрицательных чисел с суммами по строкам, равными 1), что ее последняя строка есть $(1/n,1/n,...,1/n)$ и $B=MA$. Докажите, что матрицу $M$ можно выбрать дважды-стохастической, т. е. с суммами по столбцам, также равными 1:

(А) для $n=3$;

(Б) для $n=4$;

(В) для произвольного $n$.




Назад к списку задач