Студенческий конкурс решения задач
2001-2002 гг.
Задача 4. Разложимые косые функции. Функция трех переменных $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ называется кососимметрической, если она удовлетворяет тождеству $F(x,y,z)=-F(y,x,z)=-F(x,z,y)$. Оператор альтернирования $\mbox{Alt}(F)(x,y,z) = F(x,y,z)+F(y,z,x)+F(z,x,y)-F(y,x,z)-F(z,y,x)-F(x,z,y)$ превращает любую функцию в кососимметрическую.

Кососимметрическая функция называется вполне разложимой, если она получается альтернированием функции вида $f(x)g(y)h(z)$ для некоторых функций одной переменной $f$, $g$, $h$.

Кососимметрическая функция называется частично разложимой, если она получается альтернированием функции вида $f(x,y)g(z)$ для некоторой функции двух переменных $f$ и некоторой функции одной переменной $g$.

(А) Докажите, что аналитическая функция $F$ вполне разложима тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождеству

\begin{displaymath} F(x_1,x_2,x_5)F(x_3,x_4,x_5) - F(x_1,x_3,x_5)F(x_2,x_4,x_5) + F(x_1,x_4,x_5)F(x_2,x_3,x_5) = 0. \end{displaymath}

(Б) Приведите пример неаналитической функции, которая удовлетворяет этому тождеству, но не является вполне разложимой.

(В) Сформулируйте и докажите аналогичный критерий частичной разложимости кососимметрических функций.



Назад к списку задач