Студенческий конкурс решения задач
2001-2002 гг.

Задача 7. Многочлены над конечными полями.

(А) Разложите на множители над $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($p$ -- нечетное простое) многочлен $\sum\limits_{k=0}^{(p-1)/2}\!\! {2k \choose k} x^k$.

(Б) Пусть $p$ -- простое, $p\equiv 1\pmod6$. Докажите, что многочлен

\begin{displaymath}G(x)= \sum\limits_{k=0}^{(p-1)/3}\!\!\frac{(3k)!}{(k!)^3} x^k \end{displaymath}

не имеет корней в $\,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

(В) Верно ли, что $G(x)$ раскладывается на квадратичные множители над $\,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$?


Назад к списку задач