Круги на полях, которые рисует дзета-функция Римана (Crop circles drawn by Riemann's zeta function)

talk given by Yuri Matiyasevich on August 23, 2019
at international meeting     Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: modern problems, applications and problems of history
organized by    Tula State Pedagogical University, Russia

     
Abstract.  В выступлении будут рассматриваться приближения знакопеременной дзета-функции $$\eta(s)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}$$ посредством конечных рядов Дирихле $$\eta_N(\tau,s)=\sum_{n=1}^N a_{N, n}(\tau)n^{-s},$$ коэффициенты которых зависят от вещественного параметра \(\tau\) (эти коэффициенты определяются специальным образом через значения тета-функции Римана--Зигеля и её производных в точке \(1/2+\mathrm{i} \tau\)). На численных примерах будет продемонстрировано, что такие конечные ряды Дирихле дают хорошие приближения к знакопеременной дзета-функции, а также обладают ещё рядом интересных свойств.

В частности, будут продемонстрированы графики отношения $$\frac{\eta_N(\tau,\sigma+\mathrm{i} t)}{\eta_M(\tau,\sigma+\mathrm{i} t)}$$ как функции от \(t\) при фиксированных \(M\), \(N\) и \(\sigma\). Эти графики имеют очень интересную структуру: каждый состоит из башни почти идеальных круговых дуг (''кругов на полях''), на каждой из которых лежит по одной точке, соответствующей значению рассматриваемого отношения при \(t\), равном мнимой части некоторого нетривиального нуля дзета функции.

Original slides (in Russian/English)    1.2MB

Slides for printing    .9MB

For an animation see: .pdf (63MB)