Abstract.
В выступлении будут рассматриваться приближения
знакопеременной дзета-функции
$$\eta(s)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}$$
посредством конечных рядов Дирихле
$$\eta_N(\tau,s)=\sum_{n=1}^N a_{N, n}(\tau)n^{-s},$$
коэффициенты которых зависят от вещественного
параметра \(\tau\) (эти коэффициенты определяются
специальным образом через
значения тета-функции Римана--Зигеля и её производных
в точке \(1/2+\mathrm{i} \tau\)). На численных примерах
будет продемонстрировано, что такие конечные ряды Дирихле дают хорошие приближения к знакопеременной дзета-функции, а также обладают ещё рядом интересных свойств.
В частности, будут продемонстрированы графики
отношения
$$\frac{\eta_N(\tau,\sigma+\mathrm{i} t)}{\eta_M(\tau,\sigma+\mathrm{i} t)}$$
как функции от \(t\) при фиксированных \(M\), \(N\)
и \(\sigma\). Эти графики имеют очень интересную структуру:
каждый состоит из башни почти идеальных круговых дуг
(''кругов на полях''), на каждой из которых лежит по одной
точке, соответствующей значению рассматриваемого отношения
при \(t\), равном мнимой части некоторого нетривиального нуля
дзета функции.
|